Задание 8: Вычисления и преобразования

Приводим к простым основаниям

В числителе стоит основание $6$, а в знаменателе - $2$ и $3$. Приведём всё к простым основаниям, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Представим $6$ как $2 \cdot 3$:

Группируем степени

Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

Вычисляем результат

Ответ: 24

Применяем разность логарифмов

У логарифмов одинаковое основание $0{,}5$, а между ними стоит знак минус. Применим свойство разности логарифмов:

Вычисляем логарифм

Теперь нужно вычислить $\log_{0{,}5}(4)$. Для этого задаём вопрос: в какую степень нужно возвести $0{,}5$ (то есть $\dfrac{1}{2}$), чтобы получить $4$? Так как $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$, искомая степень равна $-2$.

Альтернативный способ

Альтернативный способ расчёта через свойства:

Ответ: -2

Замечаем двойной угол

Обрати внимание на углы: угол в числителе ($104^\circ$) ровно в два раза больше угла в знаменателе ($52^\circ$). Это верный признак того, что нужно использовать формулу синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Расписываем числитель

Подставляем и сокращаем

Подставим это в исходное выражение:

Тригонометрические функции в числителе и знаменателе полностью сокращаются:

Ответ: 16