Разные задачи

Суть темы

Задание 10 проверяет умение работать с математическими моделями реальных процессов. Несмотря на то что условия задач описывают физические, химические или экономические явления, глубоких знаний этих предметов от тебя не требуется. Вся необходимая информация и сама формула уже даны в тексте. Твоя главная цель - внимательно прочитать условие, извлечь числовые данные, подставить их в формулу и решить полученное уравнение или неравенство.

За правильное решение этого задания первой части даётся 1 первичный балл. Ответом всегда является целое число или конечная десятичная дробь.

Какие темы встречаются

Формула в условии задаёт тип уравнения, к которому свелась задача. В банке задания 10 встречаются такие модели:

• Квадратные и степенные уравнения: равноускоренное движение (броски, торможение), адиабатический процесс, закон Стефана-Больцмана.

• Рациональные уравнения: эффект Доплера, формула тонкой линзы, параллельное соединение проводников.

• Иррациональные уравнения: формула Торричелли для истечения жидкости, кинетическая энергия, тормозной путь через $v = \sqrt{2la}$.

• Показательные уравнения: радиоактивный распад, охлаждение Ньютона, размножение бактерий (подробнее - в отдельном конспекте по показательным уравнениям).

• Логарифмические уравнения: изотермическое сжатие газа, уровень звука в децибелах (отдельный конспект по логарифмическим уравнениям).

• Линейные уравнения: тепловое расширение, закон Гука, тарифы (отдельный конспект по линейным уравнениям).

Частые математические модели

Формулы всегда даны в условии, но полезно узнать их в лицо, чтобы сразу понимать, какое уравнение предстоит решать.

Общий алгоритм решения

Залог успеха в задании 10 - это порядок в записях.

Примеры решения

Посмотрим три задачи с разными типами математических моделей: иррациональное, рациональное и квадратное уравнение с физической ловушкой.

Пример 1. Иррациональное уравнение (кинетическая энергия)

Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) тела массой $m$ (в кг), движущегося со скоростью $v$ (в м/с), вычисляется по формуле

$$E = \dfrac{m v^2}{2}.$$

Снаряд массой $m = 2$ кг обладает кинетической энергией $E = 900$ Дж. Найди скорость снаряда. Ответ дай в м/с.

Решение:

Выпишем «дано»: $m = 2$, $E = 900$. Найти: $v$.

Подставим числа в формулу:

$$900 = \dfrac{2 \cdot v^2}{2}$$

Двойки сокращаются, и уравнение принимает чистый вид:

$$900 = v^2$$

Квадратный корень из $900$ равен $30$. Скорость - величина неотрицательная, поэтому выбираем только положительный корень:

$$v = 30$$

Проверка: $E = \dfrac{2 \cdot 30^2}{2} = 30^2 = 900$ Дж. Сошлось.

Ответ: $30$

Пример 2. Рациональное уравнение (параллельное соединение)

При параллельном соединении двух резисторов их общее сопротивление $R$ (в омах) связано с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ (в омах) формулой

$$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}.$$

В схеме с двумя параллельными резисторами общее сопротивление оказалось равным $R = 2$ Ом, а сопротивление первого резистора $R_1 = 3$ Ом. Найди сопротивление второго резистора. Ответ дай в омах.

Пример 3. Квадратное уравнение с физическим смыслом корней

Датчик перегрева подаёт сигнал, если температура прибора превышает $120\,^\circ\text{C}$. Температура прибора $T$ (в градусах Цельсия) зависит от времени работы $t$ (в минутах) по закону

$$T(t) = T_0 + a t + b t^2,$$

где $T_0 = 20\,^\circ\text{C}$ - начальная температура, $a = 15\,^\circ\text{C/мин}$, $b = -0{,}5\,^\circ\text{C/мин}^2$. Через сколько минут после включения прибор нужно отключить, чтобы он не сломался от перегрева? Ответ дай в минутах.

Частые ошибки

Что запомнить

• Пиши «дано» столбиком: это структурирует данные и спасает от путаницы при подстановке.

• Единицы измерения сверяй до подстановки. Миллиметры - в метры, минуты - в секунды, часы - в минуты, если этого требует формула.

• Если в квадратном уравнении получилось два корня - не спеши выбирать больший. Подумай, какой корень соответствует физическому моменту из вопроса задачи.

• В иррациональных уравнениях после извлечения корня всегда думай о знаке: скорость, масса, длина неотрицательны.

• В рациональных уравнениях первым делом приводи дроби к общему знаменателю - после этого уравнение становится линейным или квадратным.

• Если в формуле есть дробная степень ($V^{4/3}$, $T^4$), избавляйся от неё возведением обеих частей во взаимно обратную степень.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Кинетическая энергия тела массой $m = 2$ кг равна $E = 100$ Дж. Формула: $E = \dfrac{mv^2}{2}$. Чему равна скорость $v$ (в м/с)?
   • $10$
   • $50$
   • $100$
   • $\sqrt{50}$
2. Общее сопротивление $R$ при параллельном соединении: $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$. Если $R_1 = 4$ Ом и $R_2 = 4$ Ом, то $R$ равно:
   • $8$ Ом
   • $2$ Ом
   • $4$ Ом
   • $16$ Ом
3. При решении задачи о перегреве прибора получилось два положительных корня: $t_1 = 10$ и $t_2 = 20$. Через сколько минут нужно отключить прибор, чтобы он не сломался?
   • $10$
   • $20$
   • $15$
   • $30$
4. В формуле встретился показатель степени $1{,}4$. Возведением в какую степень нужно снять этот показатель?
   • $\dfrac{5}{7}$
   • $\dfrac{7}{5}$
   • $-1{,}4$
   • $\dfrac{1}{2}$

Проверить