Задание 12: Графики функций

Находим уравнение гиперболы

На графике гиперболы жирной точкой отмечена координата $(2;\, 3)$. Подставим её в уравнение $y = \dfrac{k}{x}$:

Значит, формула гиперболы: $f(x) = \dfrac{6}{x}$.

Находим уравнение прямой

Прямая проходит через точки $(1;\, 1)$ и $(2;\, 3)$. Подставим их координаты в $y = ax + b$:

Вычтем из второго уравнения первое:

Подставим $a = 2$ в первое уравнение: $1 = 2 + b \implies b = -1$. Значит, формула прямой: $g(x) = 2x - 1$.

Находим точку пересечения $B$

В точках пересечения значения функций равны: $f(x) = g(x)$.

Домножим на $x$ (при $x \neq 0$) и перенесём всё в одну сторону:

Решим квадратное уравнение:

$x_1 = 2$ - это абсцисса точки $A$, которую мы и так видели на графике. $x_2 = \dfrac{-6}{4} = -1{,}5$ - это абсцисса точки $B$.

Вычисляем ординату

В задаче просят найти ординату точки $B$ (значение $y$). Подставим $x = -1{,}5$ в любое из уравнений, например в $g(x)$:

Для верности проверим через гиперболу: $f(-1{,}5) = \dfrac{6}{-1{,}5} = -4$. Совпадает!

Находим сдвиг $b$

Область определения логарифма: $x + b > 0 \implies x > -b$. Вертикальная асимптота графика - это прямая $x = -b$. По рисунку видно, что график приближается к вертикальной прямой $x = -2$. Значит, $-b = -2 \implies b = 2$. Функция принимает вид: $f(x) = \log_a (x + 2)$.

Находим основание логарифма $a$

Возьмём с графика жирную точку с координатами $(2;\, 2)$ и подставим в наше уравнение:

По определению логарифма: $a^2 = 4$. Так как основание логарифма всегда положительно ($a > 0$), получаем $a = 2$. Итоговая формула функции: $f(x) = \log_2 (x + 2)$.

(Точка $(-1;\, 0)$ на графике тоже есть, но она не поможет найти $a$, так как $\log_a(-1+2) = \log_a 1 = 0$ верно при любом допустимом $a$).

Вычисляем искомое значение

Нам нужно найти $f(14)$. Подставляем $x = 14$ в формулу:

В какую степень нужно возвести $2$, чтобы получить $16$? В четвёртую.