Квадратные и степенные уравнения и неравенства

Содержание

Суть темы
Основные формулы
Алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Что запомнить
Стратегия на экзамене

Суть темы

Задание 10 проверяет умение работать с физическими, экономическими или техническими формулами. Суть задачи всегда одна: дана формула, даны значения почти всех входящих в неё величин, и нужно найти одну оставшуюся неизвестную.

Этот конспект посвящён задачам, которые сводятся к квадратному уравнению или неравенству. Чаще всего они описывают равноускоренное движение (бросок мяча или камня) или нагрев прибора со временем. Сложность здесь не в самой математике, а в понимании физического смысла полученных корней: в ответ почти никогда не идёт формальный «больший» или «меньший» корень - его выбирают по условию.

Основные формулы

Формулы из условия всегда даны, но для работы с ними нужно уверенно знать два школьных факта - как найти корни квадратного уравнения и как решать квадратное неравенство.

Почему при $a < 0$ знак меняется -- видно на графике:

Метод интервалов для квадратного неравенства

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения квадратной прикладной задачи

Выпиши формулу и «дано». На черновике слева столбиком - буквы с их значениями и единицами измерения, справа - сама формула.
Составь уравнение или неравенство. Подставь все известные числа. Если в вопросе есть слова «не менее», «не более», «не превышает», «свыше» - составляй неравенство.
Приведи к стандартному виду. Собери всё в одной части: $at^2 + bt + c = 0$ (или $\leqslant 0$ , $\geqslant 0$ ). Если старший коэффициент отрицательный, сразу домножь на $-1$ и поменяй знак неравенства - это уменьшит риск ошибки с минусами.
Найди корни. Через дискриминант или по теореме Виета. Числа в задании 10 почти всегда подобраны так, что $\sqrt{D}$ извлекается нацело.
Отбери корни по физическому смыслу. Время $t \geqslant 0$ , скорость, длина, масса, концентрация - величины неотрицательные. Отрицательный корень сразу отбрасывай.
Выбери ответ по вопросу задачи. «В какой момент» - подставляй конкретный корень. «Сколько секунд длится» - разность корней. «Не позднее какого момента отключить» - меньший из корней и т.д. Проверь формат: целое число или конечная десятичная дробь.

Примеры решения

Два самых частых сюжета в этой подтеме - полёт тела и нагрев прибора. Числа в этих задачах подобраны так, чтобы дискриминант извлекался нацело.

Пример 1. Полет мяча (длительность)

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t) = 2 + 14t - 5t^2$ , где $h$ - высота в метрах, $t$ - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $10$ метров?

Составляем математическую модель

По условию высота должна быть «не менее 10 метров», то есть $h(t) \geqslant 10$ . Подставляем формулу:

2 + 14t - 5t^2 \geqslant 10

Решаем квадратное неравенство

Перенесём всё влево и умножим обе части на $-1$ , чтобы коэффициент при $t^2$ стал положительным (знак неравенства при этом меняется):

-5t^2 + 14t - 8 \geqslant 0

5t^2 - 14t + 8 \leqslant 0

Найдём корни соответствующего уравнения:

D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 8 = 196 - 160 = 36

t_{1,2} = \dfrac{14 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \dfrac{14 \pm 6}{10}

t_1 = \dfrac{8}{10} = 0{,}8

t_2 = \dfrac{20}{10} = 2

Интерпретируем результат

Парабола $y = 5t^2 - 14t + 8$ имеет ветви вверх. Неравенство $\leqslant 0$ выполняется между корнями: $t \in [0{,}8;\, 2]$ .

Физический смысл: в момент $t = 0{,}8$ с мяч впервые достиг высоты $10$ м, двигаясь вверх. Затем он поднялся до высшей точки, начал падать и в момент $t = 2$ с снова пересёк отметку $10$ м, теперь уже двигаясь вниз.

График высоты мяча h(t) = 2 + 14t - 5t^2 в осях t (сек) и h

Находим длительность

Вопрос: «Сколько секунд мяч находился на высоте не менее $10$ метров?» - это длительность промежутка:

\Delta t = t_2 - t_1 = 2 - 0{,}8 = 1{,}2

Ответ: $1{,}2$

Пример 2. Нагревательный элемент (ловушка с корнями)

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы:

T(t) = T_0 + bt + at^2

где $t$ - время (в минутах), $T_0 = 1200$ К, $a = -5$ К/мин $^2$ , $b = 100$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1680$ К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Составляем модель

Прибор работает нормально, пока его температура не превысит $1680$ К. Значит, безопасный режим описывается неравенством $T(t) \leqslant 1680$ . Подставляем данные:

1200 + 100t - 5t^2 \leqslant 1680

Решаем квадратное неравенство

Перенесём всё в одну сторону:

-5t^2 + 100t + 1200 - 1680 \leqslant 0

-5t^2 + 100t - 480 \leqslant 0

Старший коэффициент отрицательный - умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:

5t^2 - 100t + 480 \geqslant 0

Разделим обе части на $5$ (число положительное, знак сохраняется):

t^2 - 20t + 96 \geqslant 0

Найдём корни квадратного уравнения $t^2 - 20t + 96 = 0$ :

D = 400 - 4 \cdot 96 = 400 - 384 = 16

t_{1,2} = \dfrac{20 \pm 4}{2}

t_1 = 8

t_2 = 12

Интерпретируем результат

Парабола $y = t^2 - 20t + 96$ ветвями вверх, неравенство $\geqslant 0$ выполняется вне отрезка между корнями: $t \in [0;\, 8] \cup [12;\, +\infty)$ . В эти моменты прибор в безопасном режиме.

Перевод на язык температуры: график $T(t) = 1200 + 100t - 5t^2$ - парабола ветвями вниз, пик приходится на $t = 10$ мин. В момент $t = 8$ температура впервые достигает критической отметки $1680$ К; с $8$ -й по $12$ -ю минуту она выше $1680$ К; в момент $t = 12$ снова опускается до $1680$ К.

Выбираем корень по смыслу задачи

Вопрос: «через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор?». Кажется, что слово «наибольшее» требует вписать в ответ корень $12$ . Но если прибор не отключить на $8$ -й минуте, он перегреется и расплавится. До $12$ -й минуты он просто не доживёт. Значит, наибольшее безопасное время работы - это первый момент достижения критической температуры.

Ответ: $8$

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Отрицательный корень - не ответ

Ошибка: Решая уравнение на время полёта или срок работы прибора, получить два корня (например, $t_1 = -3$ и $t_2 = 5$ ) и записать в ответ наибольший по модулю (число $-3$ ) или вовсе не задуматься о знаке.

Правильно: Отрицательное время, отрицательная масса, отрицательная скорость в прикладных задачах смысла не имеют. Такой корень отбрасывай сразу и переходи к положительному. Если оба корня отрицательны - ищи арифметическую ошибку: для реальной задачи так быть не должно.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ловушка «наибольшего времени» в задаче про прибор

Ошибка: В задачах на нагрев машинально выбирать больший корень из-за слова «наибольшее время» в условии.

Правильно: Прибор ломается в момент, когда температура впервые превышает допустимую. Это меньший корень. Больший корень показывает, когда парабола температуры формально опустилась бы обратно до критического уровня - но к тому моменту реального прибора уже нет. В ответ идёт меньший положительный корень.

Что запомнить

Если старший коэффициент квадратного уравнения отрицательный, сразу умножай обе части на $-1$ и меняй знак неравенства. Это снижает число ошибок с дискриминантом и корнями.
Отрицательный корень в задаче на время, массу, длину - отбрасывай без сожалений.
«В какой момент» - подставляй нужный корень целиком. «Сколько длится» - считай разность корней. «До какого момента безопасно работать» - меньший положительный корень.
В задачах на ограничения (предельная температура, предельное давление, предельное ускорение) ответом почти всегда является меньший из двух положительных корней.
Схематический эскиз параболы (ветви вверх или вниз, корни на оси) за $20$ секунд экономит минуту на интерпретации.

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 5-7 минут. Подтип чуть дольше линейного из-за дискриминанта.
Приоритет: Решай в первой половине экзамена. Балл здесь надёжный, если не попасться в логическую ловушку с выбором корня.
Проверка ответа: Подставь найденное значение $t$ в исходную формулу - должно получиться заданное граничное значение (высота, температура). Если получилось «некрасивое» число (корень или бесконечная дробь), ищи ошибку в подстановке или арифметике.
Здравый смысл: Время падения предмета редко превышает $10$ секунд, а разогрев прибора обычно занимает минуты, а не часы. Ответ в $500$ секунд или $0{,}001$ минуту - повод перепроверить единицы.
Формат ответа: Только целое число или конечная десятичная дробь.

Проверь себя

Высота мяча меняется по закону $h(t) = 2 + 14t - 5t^2$ . Неравенство $h(t) \geqslant 10$ дало корни $t_1 = 0{,}8$ и $t_2 = 2$ . Сколько секунд мяч был на высоте не менее $10$ м?
При решении неравенства $-5t^2 + 100t - 480 \leqslant 0$ обе части умножили на $-1$ . Что нужно сделать со знаком неравенства?
Прибор перегревается при температуре свыше критической. Уравнение «температура равна критической» дало корни $t_1 = 8$ и $t_2 = 12$ . Не позднее какой минуты нужно отключить прибор?
Уравнение на время полёта дало корни $t_1 = -3$ и $t_2 = 5$ . Что делать с корнем $-3$ ?