Тригонометрические уравнения, разложение на множители

Раскладываем на множители

Раскрой синус двойного угла:

Вынеси общий множитель $\cos x$ за скобки:

Решаем простейшие уравнения

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $\cos x = 0 \implies x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \ZZ$
2. $2\sqrt{3}\sin x - 3 = 0 \implies 2\sqrt{3}\sin x = 3 \implies \sin x = \dfrac{3}{2\sqrt{3}}$

Избавься от иррациональности в знаменателе: $\dfrac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Получаем уравнение $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Его корни:

Отбираем корни для пункта б

Произведи отбор корней с помощью числовой окружности.

Отрезок $\left[-\dfrac{5\pi}{2};\, -\pi\right]$ занимает три четверти окружности (от нижней точки через правую до левой). Пройдись по сериям:

• Из серии $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$ на дугу попадают нижняя точка $x = -\dfrac{5\pi}{2}$ (при $k = -3$) и верхняя точка $x = -\dfrac{3\pi}{2}$ (при $k = -2$).
• Из серии $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$ подходит точка в первой четверти: $x = \dfrac{\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{5\pi}{3}$ (при $n = -1$).
• Из серии $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi m$ подходит точка во второй четверти: $x = \dfrac{2\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{4\pi}{3}$ (при $m = -1$).

Упрощаем по формулам приведения

Для начала упрости аргумент с помощью формул приведения. Вспомни, что синус - функция нечётная, поэтому $\sin\left(x - \dfrac{3\pi}{2}\right) = -\sin\left(\dfrac{3\pi}{2} - x\right)$. Так как функция возводится в квадрат, минус сгорает: $\sin^2\left(x - \dfrac{3\pi}{2}\right) = \sin^2\left(\dfrac{3\pi}{2} - x\right) = (-\cos x)^2 = \cos^2 x$.

Раскладываем на множители

Подставь это в исходное уравнение и раскрой $\sin 2x$:

Вынеси общий множитель $2\cos x$:

Решаем простейшие уравнения

Распадается на два уравнения:

1. $\cos x = 0 \implies x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \ZZ$
2. $\cos x + \sqrt{3}\sin x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Убедись, что $\cos x \neq 0$: если допустить $\cos x = 0$, из уравнения сразу получится $\sqrt{3}\sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Но одновременно $\sin x = 0$ и $\cos x = 0$ невозможно, это противоречит основному тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Значит, можно смело делить обе части на $\cos x$:

Отбираем корни для пункта б

Выполни отбор корней на числовой окружности.

На дуге от $\dfrac{3\pi}{2}$ до $3\pi$ (длина $\dfrac{3\pi}{2}$, то есть три четверти окружности) лежат следующие корни:

• Из серии $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$: нижняя точка $\dfrac{3\pi}{2}$ (при $k = 1$) и верхняя точка $\dfrac{5\pi}{2}$ (при $k = 2$).
• Из серии $x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi n$: при $n = 2$ получается $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{11\pi}{6}$ (точка в четвёртой четверти), при $n = 3$ получается $x = -\dfrac{\pi}{6} + 3\pi = \dfrac{17\pi}{6}$ (точка во второй четверти).

Группируем и раскладываем на множители

Раскрой синус двойного угла:

Перед нами четыре слагаемых. Примени метод группировки. Сгруппируй первое со вторым и третье с четвёртым: Из первых двух вынеси $\sqrt{2}\cos x$:

Из третьего и четвёртого вынеси $\sqrt{6}\sin x$:

Собери всё вместе:

Вынеси общую скобку:

Решаем простейшие уравнения

Приравняй каждый множитель к нулю:

1. $\sqrt{2}\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

2. $\sqrt{2}\cos x + \sqrt{6}\sin x = 0$

Снова однородное уравнение первой степени. По тем же соображениям $\cos x \neq 0$ (иначе одновременно $\sin x = 0$ и $\cos x = 0$), поэтому раздели обе части на $\sqrt{2}\cos x$:

Отбираем корни для пункта б

Выполни отбор корней с помощью числовой окружности.

Длина отрезка $\left[-2\pi;\, -\dfrac{\pi}{2}\right]$ равна $\dfrac{3\pi}{2}$, то есть дуга занимает три четверти окружности (от правой точки против часовой стрелки до нижней). Пройдись по сериям:

• Из серии $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$ подходит точка во второй четверти: $x = \dfrac{3\pi}{4} - 2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}$ (при $k = -1$).
• Из серии $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$ подходит точка в третьей четверти: $x = -\dfrac{3\pi}{4}$ (при $k = 0$).
• Из серии $x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi n$ подходит точка во второй четверти: $x = -\dfrac{\pi}{6} - \pi = -\dfrac{7\pi}{6}$ (при $n = -1$). Значение при $n = 0$ даёт $-\dfrac{\pi}{6}$ - оно не попадает на отрезок, так как лежит правее.