Центральные и вписанные углы

Вводим переменную

Пусть величина вписанного угла равна $x$. Тогда центральный угол, опирающийся на ту же дугу, по определению в $2$ раза больше, то есть равен $2x$.

Составляем и решаем уравнение

В условии сказано, что центральный угол на $34^\circ$ больше вписанного. Составим уравнение:

Нас просят найти вписанный угол, за $x$ мы обозначали именно его.

Переходим от угла к дуге

Действуем по алгоритму: переходим к дугам. Угол $ACB$ - вписанный. Он опирается на дугу $AB$. Значит, дуга $AB = 2 \cdot 38^\circ = 76^\circ$.

Находим дугу AD

Отрезок $BD$ - диаметр. Диаметр делит окружность пополам, значит, дуга $BAD$ (полуокружность) равна $180^\circ$.

Дуга $BAD$ состоит из дуги $AB$ и дуги $AD$. Найдём дугу $AD$:

Возвращаемся к искомому углу

Нас просят найти угол $AOD$. Вершина $O$ - центр окружности. Значит, угол $AOD$ - центральный.

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Угол $AOD$ опирается на дугу $AD$, значит, $\angle AOD = 104^\circ$.

Второй способ

Треугольник $BOC$ равнобедренный, так как $OB = OC = R$. Углы при основании равны: $\angle OBC = \angle OCB = 38^\circ$. Сумма углов треугольника $180^\circ$, значит $\angle BOC = 180^\circ - (38^\circ + 38^\circ) = 104^\circ$. Углы $AOD$ и $BOC$ - вертикальные, следовательно, $\angle AOD = 104^\circ$. Выбирай тот способ, который тебе ближе!

Проводим радиус в точку касания

Проведём радиус $OA$ в точку касания $A$.

По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен ей. Значит, $\angle OAC = 90^\circ$.

Находим центральный угол

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAC$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.

Найдём угол $AOC$:

Переходим к дуге

Угол $AOC$ - центральный. Он опирается на дугу $AB$. Следовательно, градусная мера дуги $AB$ равна величине центрального угла $AOC$.

Переводим известные углы в дуги

Эта задача элегантно решается через дуги. Не пытайся найти все углы треугольников, здесь это не сработает.

Угол $ABC$ - вписанный, равен $102^\circ$. Проследим за его сторонами ($BA$ и $BC$): он опирается на большую дугу $ADC$. Значит, $\overset{\frown}{ADC} = 2 \cdot 102^\circ = 204^\circ$.

Посмотрим на второй известный угол: $\angle CAD = 38^\circ$. Он вписанный и опирается на дугу $CD$. Значит, $\overset{\frown}{CD} = 2 \cdot 38^\circ = 76^\circ$.

Находим дугу AD

Дуга $ADC$ состоит из двух кусочков: $\overset{\frown}{AD}$ и $\overset{\frown}{DC}$. То есть $\overset{\frown}{ADC} = \overset{\frown}{AD} + \overset{\frown}{DC}$.

Теперь мы можем найти дугу $AD$:

Возвращаемся к искомому углу

Нас просят найти угол $ABD$. Проследим за его сторонами: он опирается как раз на дугу $AD$!

Так как угол $ABD$ вписанный, он равен половине своей дуги: