Кредиты с равными платежами

Кредиты с равными платежами (Задание 13)

Кредит в тринадцатом номере устроен коротко: срок два-три года, ставка круглая, все платежи одинаковые, а в бланк уходит одно число. Спрашивают почти всегда что-то из четырёх: размер одного платежа, первоначальную сумму кредита, общую сумму выплат (или переплату) и остаток долга после очередного платежа. Модель у всех четырёх вопросов одна и та же, поэтому строить её надо один раз - дальше меняется только то, какую букву считать неизвестной.

Год кредита - это два действия

Что бы ни было написано в условии про январь, февраль и декабрь, каждый год кредита состоит ровно из двух действий, и порядок у них жёсткий: сначала банк начисляет процент на остаток долга, потом клиент вносит платёж.

Обозначим сумму кредита через $S$, одинаковый платёж - через $x$, а остаток долга после $m$-го платежа - через $S_m$. Тогда каждый год пересчитывает остаток по одному правилу:

Главное уравнение

Раскроем правило пересчёта на три года. Пусть кредит взят на $n = 3$ года:

• после первого платежа $S_1 = Sk - x$;
• после второго $S_2 = (Sk - x)k - x = Sk^2 - xk - x$;
• после третьего $S_3 = Sk^3 - xk^2 - xk - x$.

Кредит погашен полностью, значит $S_3 = 0$. Перенесём платежи вправо - получится равенство, которым решается любая задача этого типа.

Степеней в задании 13 нужно немного, и все они считаются устно:

Ставка $r$	$k$	$k^2$	$k^3$	$1 + k$	$1 + k + k^2$
$10\%$	$1{,}1$	$1{,}21$	$1{,}331$	$2{,}1$	$3{,}31$
$20\%$	$1{,}2$	$1{,}44$	$1{,}728$	$2{,}2$	$3{,}64$
$25\%$	$1{,}25$	$1{,}5625$	$1{,}953125$	$2{,}25$	$3{,}8125$

Как ведёт себя долг

Остаток долга при равных платежах убывает неравномерно: сначала медленно, потом всё быстрее. Причина простая - в первый год проценты самые большие, и на погашение самого долга от платежа остаётся меньше всего.

Тот же факт с другой стороны: платёж каждый год одинаковый, но делится он по-разному. Часть платежа гасит начисленные проценты, а остальное идёт на тело долга - на саму занятую сумму. В первый год проценты забирают почти половину платежа, в последний - меньше пятой части.

Общая сумма выплат и переплата

Примеры решения

Четыре примера закрывают все четыре вопроса, которые встречаются в этом номере.

Пример 1. Общая сумма выплат

В июле планируется взять кредит $182\,000$ рублей на три года. Каждый январь долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с его величиной на конец предыдущего года, а с февраля по июнь вносится один платёж. Кредит гасится тремя равными платежами. Какова общая сумма выплат?

Пример 2. Переплата за два года

Семья оформляет автокредит на $550\,000$ рублей сроком на два года. В начале каждого года невыплаченный долг увеличивается на $20\%$, а затем в течение года вносится один платёж. Оба платежа одинаковы и полностью гасят кредит. На сколько рублей общая сумма выплат превысит сумму кредита?

Пример 3. Обратная задача: найти сумму кредита

Кредит взят на три года и погашается тремя равными платежами по $216\,000$ рублей. В начале каждого года остаток долга увеличивается на $20\%$, после чего вносится очередной платёж. Сколько рублей составляла первоначальная сумма кредита?

Пример 4. Остаток долга после платежа

Предприниматель берёт в банке $273\,000$ рублей на три года. В начале каждого года долг вырастает на $20\%$ по сравнению с его величиной на конец предыдущего года, в течение года вносится один платёж; все три платежа одинаковы и полностью гасят кредит. Каким будет остаток долга сразу после второго платежа?

Частые ошибки

Что запомнить

• $k = 1 + \dfrac{r}{100}$ - множитель роста долга за период; он всегда больше единицы.
• Один период кредита - это $S_m = S_{m-1}k - x$: сначала процент, потом платёж.
• Уравнение полного погашения: $S k^n = x\,(k^{n-1} + \ldots + k + 1)$, а сумма в скобках равна $\dfrac{k^n - 1}{k - 1}$.
• Для двух лет $Sk^2 = x(k+1)$, для трёх $Sk^3 = x(k^2 + k + 1)$. При $k = 1{,}2$ это множители $1{,}44$, $2{,}2$ и $1{,}728$, $3{,}64$.
• Общая сумма выплат $T = nx$, переплата равна $nx - S$.
• Остаток долга убывает неравномерно: процент начисляется только на невыплаченную часть.

Проверь себя

1. Банк начисляет $25\%$ годовых. Чему равен коэффициент увеличения долга $k$?
   • $1{,}25$
   • $0{,}25$
   • $25$
   • $1{,}025$
2. Кредит $S$ взят на два года и гасится двумя равными платежами $x$. Какое уравнение верно?
   • $Sk^2 = x(k + 1)$
   • $Sk^2 = 2x$
   • $Sk = x(k + 1)$
   • $S = xk^2$
3. Кредит на два года под $10\%$ годовых погашен двумя платежами по $121\,000$ рублей. Какова была сумма кредита?
   • $210\,000$
   • $220\,000$
   • $242\,000$
   • $200\,000$
4. Кредит $400\,000$ рублей погашен тремя равными платежами по $180\,000$ рублей. Чему равна переплата?
   • $140\,000$
   • $180\,000$
   • $540\,000$
   • $220\,000$
5. Что происходит с начисляемыми процентами от года к году при равных платежах?
   • Уменьшаются, потому что остаток долга убывает
   • Остаются одинаковыми, ведь платежи равны
   • Растут, потому что долг умножается на $k$
   • Начисляются один раз в начале срока

Проверить