Физический смысл производной

Суть темы

Задание 9 профильного ЕГЭ проверяет умение работать с производной. Одна из подтем -- физический смысл: если какая-то величина меняется во времени, то её производная показывает, насколько быстро она меняется прямо сейчас.

Когда тело движется, его координата $s(t)$ (в школьных задачах часто пишут $x(t)$) зависит от времени. Чем круче ползёт вверх график $s(t)$, тем быстрее тело летит. Эта «крутизна» в конкретный момент -- тангенс угла наклона касательной, то есть производная. Поэтому мгновенная скорость получается как $v(t) = s'(t)$.

Потяни скорость с 60 до 70 км/ч и посмотри, сколько метров тормозного пути стоят эти десять км/ч; теперь с 110 до 120 -- производная растёт вместе со скоростью.

Этот принцип универсален. Если $f(t)$ -- объём воды в бассейне, то $f'(t)$ -- скорость наполнения в литрах в секунду. Если $f(t)$ -- масса тающего льда, то $f'(t)$ -- скорость таяния. Поэтому задача на физический смысл всегда сводится к одной операции: взять производную и подставить нужный момент $t$.

Основные формулы

Нужна одна физическая связка и несколько базовых правил дифференцирования. В первой части ЕГЭ закон движения всегда задаётся многочленом, поэтому таблица производных минимальная.

Алгоритм решения

Задача почти всегда решается в три простых действия. Вся «сложность» -- аккуратно прочитать условие и не перепутать, что подставляется куда.

Примеры

Три прототипа, от базового к экзаменационному: скорость по заданному моменту времени, момент остановки ($v = 0$) и максимальная скорость на промежутке (через исследование $v'(t) = 0$).

Пример 1. Скорость в заданный момент

Условие: Материальная точка движется прямолинейно по закону $s(t) = \dfrac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 8t + 15$, где $s$ -- расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ -- время в секундах. Найди скорость точки (в м/с) в момент $t = 5$ с.

Пример 2. Момент остановки: когда $v = 0$

Условие: Материальная точка движется прямолинейно по закону $s(t) = \dfrac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 12t + 7$, где $s$ -- в метрах, $t$ -- в секундах. В какой момент времени (в секундах) точка остановилась в первый раз?

Пример 3. Максимальная скорость на промежутке

Условие: Материальная точка движется прямолинейно по закону $s(t) = -t^3 + 9t^2 + 15t + 4$, где $s$ -- в метрах, $t$ -- в секундах. Найди наибольшее значение скорости точки (в м/с) за всё время движения.

То же самое на любой параболе:

Частые ошибки

Что запомнить

• $v(t) = s'(t)$ -- скорость есть производная координаты по времени.

• $a(t) = v'(t) = s''(t)$ -- ускорение есть производная скорости и вторая производная координаты.

• Нужен момент остановки -- приравнивай к нулю $v(t)$.

• Нужна максимальная скорость -- приравнивай к нулю $a(t) = v'(t)$, потом подставляй найденный $t$ обратно в $v(t)$.

• Константа в $s(t)$ при дифференцировании исчезает, она не влияет на скорость.

• Ответ обязан быть неотрицательным временем или разумным числом в нужных единицах.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Тело движется по закону $s(t)$. Как найти его мгновенную скорость $v(t)$?
   • взять производную: $v(t) = s'(t)$
   • разделить путь на время: $v(t) = s(t)/t$
   • взять вторую производную: $v(t) = s''(t)$
   • проинтегрировать $s(t)$
2. Точка движется по закону $s(t) = t^2 + 3t + 100$. Чему равна её скорость при $t = 2$?
   • $110$
   • $7$
   • $4$
   • $2$
3. В какой момент точка останавливается?
   • когда $v(t) = 0$
   • когда $s(t) = 0$
   • когда $a(t) = 0$
   • когда $s(t)$ максимальна
4. Как найти момент, когда скорость максимальна?
   • приравнять к нулю $v(t)$
   • приравнять к нулю $a(t) = v'(t)$ и проверить, что это максимум
   • подставить $t = 0$ в $v(t)$
   • приравнять к нулю $s(t)$

Проверить