Задание 15: Стереометрия

Содержание

О задании
Какие темы встречаются
Два подхода к решению
Основные формулы
Общий алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Стратегия на экзамене
За что дают баллы

О задании

Задание 15 проверяет твоё пространственное мышление и знание стереометрии. Это первая геометрическая задача второй части, требующая полного, обоснованного решения.

Что проверяется: Умение строить сечения, доказывать свойства пространственных фигур, находить углы и расстояния в многогранниках и круглых телах.
Формат ответа: Развёрнутое решение с чертежом, доказательством пункта «а» и вычислением пункта «б».
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 3 первичных балла.

Какие темы встречаются

Чаще всего на экзамене встречаются:

Сечения пирамид и призм - абсолютный лидер. Нужно уметь грамотно строить сечение методом следов или параллельных прямых.
Угол между плоскостями / Угол между прямой и плоскостью. Классический поиск линейного угла двугранного угла.
Расстояние от точки до плоскости / между скрещивающимися прямыми.
Комбинации фигур (встречаются реже). Цилиндры, конусы и вписанные в них многогранники.

Два подхода к решению

Задание 15 уникально тем, что большинство задач можно решить двумя принципиально разными путями.

Классический метод. Основан на теоремах стереометрии, дополнительных построениях, подобии треугольников и тригонометрии. Идеально подходит для задач на сечения пирамид.
Метод координат (векторно-координатный). Геометрическая фигура помещается в систему координат $Oxyz$ . Дальше всё решается по строгим алгебраическим формулам. Идеально подходит для поиска углов и расстояний в фигурах с прямыми углами (куб, прямоугольный параллелепипед, правильная призма).

Основные формулы

Ниже собран инструментарий для координатного метода. Освой эти формулы - и задача сведётся к аккуратным вычислениям с координатами.

ВАЖНОЕ

Вектор, длина, скалярное произведение

Координаты вектора по двум точкам $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$ :

\vec{AB} = (x_2 - x_1;\, y_2 - y_1;\, z_2 - z_1)

Длина вектора $\vec{a} = (x;\, y;\, z)$ :

|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

Скалярное произведение векторов $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ :

\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2

Если $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ , то векторы (и соответствующие прямые) перпендикулярны.

ВАЖНОЕ

Уравнение плоскости

Общий вид уравнения плоскости в пространстве:

Ax + By + Cz + D = 0

Коэффициенты $(A;\, B;\, C)$ - это координаты вектора нормали $\vec{n}$ к плоскости.

Как найти уравнение плоскости по трём точкам $M_1, M_2, M_3$ :

Запиши общее уравнение с четырьмя неизвестными $A, B, C, D$ .
Подставь координаты каждой точки - получишь систему из трёх уравнений.
Зафиксируй один коэффициент (например, $D = 1$ или $D = -1$ , если плоскость не проходит через начало координат) и найди остальные.

ВАЖНОЕ

Угол между плоскостями

Углом между двумя плоскостями называют острый угол $\psi$ из диапазона $[0°;\, 90°]$ . Он вычисляется через нормали $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ к плоскостям:

\cos \psi = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

План действий на экзамене

Построй крупный чертёж. Сделай его карандашом, чтобы можно было стирать вспомогательные линии. Невидимые линии обязательно делай пунктирными.
Докажи пункт «а». Опирайся только на известные теоремы (признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о трёх перпендикулярах). Каждое логическое следствие сопровождай ссылкой на теорему или свойство.
Выбери метод для пункта «б». Если фигура прямоугольная - смело вводи координаты. Если это сложная пирамида - используй классику и выносные плоские чертежи.
Если выбрал координаты - введи удобную систему.
- Куб, прямоугольный параллелепипед: начало в вершине, оси вдоль трёх рёбер, выходящих из этой вершины.
- Правильная призма: начало в центре нижнего основания, ось $Oz$ по высоте.
- Правильная пирамида: начало в центре основания, ось $Oz$ по высоте.
- Хороший признак правильного выбора: координаты всех ключевых точек получаются простыми (целыми или легко выражаются через ребро).

Проведи вычисления. Выполняй арифметику аккуратно, избавляйся от иррациональности в знаменателе.
Запиши чёткий ответ. Ответ на пункт «а» обычно пишется словом «Доказано». Ответ на пункт «б» - число (часто с корнями или аркфункциями).

Примеры решения

Ниже разобраны три примера. Первый демонстрирует классический подход, второй - всю мощь метода координат, третий - работу с углом между прямой и плоскостью. Для каждой задачи приведено основное и альтернативное решение.

Пример 1. Классический метод (Сечение пирамиды)

Условие: В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ все рёбра равны $6$ . Точка $K$ - середина бокового ребра $SC$ . Плоскость $\alpha$ проходит через точки $A$ , $B$ и $K$ . а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является равнобедренной трапецией. б) Найдите косинус угла между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания $ABCD$ .

Пункт а: строим сечение

В правильной пирамиде основание $ABCD$ - квадрат, значит, $AB \parallel CD$ . Так как $CD$ лежит в плоскости $SCD$ , то прямая $AB$ параллельна плоскости $SCD$ .
Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $AB$ , параллельную плоскости $SCD$ , и пересекает эту плоскость. По свойству параллельных прямых и плоскостей, линия пересечения этих плоскостей должна быть параллельна $AB$ .
Значит, плоскость $\alpha$ пересекает грань $SCD$ по отрезку $KL$ , параллельному $CD$ (так как $AB \parallel CD$ ).
Поскольку $K$ - середина $SC$ , а $KL \parallel CD$ , отрезок $KL$ является средней линией треугольника $SCD$ . Следовательно, точка $L$ - середина $SD$ .

Пункт а: доказываем равнобедренность трапеции

Сечение $ABKL$ - трапеция (так как $AB \parallel KL$ ). Докажем, что она равнобедренная. Треугольники $SAD$ и $SBC$ равны (пирамида правильная). Отрезки $AL$ и $BK$ - медианы этих равных треугольников, проведённые к равным сторонам. Следовательно, $AL = BK$ . Трапеция равнобедренная. Доказано.

Пункт б: строим линейный угол

Найдём линейный угол двугранного угла между плоскостью $ABKL$ и основанием $ABCD$ . Пусть $E$ и $F$ - середины $AB$ и $CD$ соответственно. $M$ - середина $KL$ .
Проекция вершины $S$ - точка $O$ , центр квадрата. Плоскость $SEF$ является плоскостью симметрии пирамиды. Она перпендикулярна прямой $AB$ . Следовательно, линейный угол искомого двугранного угла - это $\angle MEM'$ , где $M'$ - проекция точки $M$ на плоскость основания (точка $M'$ лежит на отрезке $OF$ ).

Пункт б: вычисляем элементы треугольника

В $\triangle SEF$ отрезок $OF = \frac{1}{2}AD = 3$ . Высота пирамиды $SO = \sqrt{SF^2 - OF^2}$ . Треугольник $SCD$ равносторонний (все стороны равны $6$ ), поэтому апофема $SF$ - это его высота: $SF = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ . Тогда $SO = \sqrt{27 - 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ .
Точка $M$ - середина средней линии $KL$ , значит, она лежит на середине апофемы $SF$ . Расстояние от $M$ до основания в два раза меньше $SO$ : $MM' = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ .
Точка $M'$ - середина $OF$ . Значит, $OM' = 1{,}5$ . Тогда $EM' = EO + OM' = 3 + 1{,}5 = 4{,}5 = \frac{9}{2}$ .

Пункт б: находим косинус угла

В прямоугольном $\triangle MM'E$ найдём гипотенузу $ME$ :

ME = \sqrt{(EM')^2 + (MM')^2} = \sqrt{\left(\dfrac{9}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{81}{4} + \dfrac{18}{4}} = \dfrac{\sqrt{99}}{2} = \dfrac{3\sqrt{11}}{2}

Косинус искомого угла:

\cos \angle MEM' = \dfrac{EM'}{ME} = \dfrac{\frac{9}{2}}{\frac{3\sqrt{11}}{2}} = \dfrac{9}{3\sqrt{11}} = \dfrac{3}{\sqrt{11}} = \dfrac{3\sqrt{11}}{11}

Поместим пирамиду в систему координат: начало $O$ - в центре квадрата $ABCD$ , ось $Oz$ направим через вершину $S$ . Стороны квадрата параллельны осям $Ox$ и $Oy$ .

Координаты вершин:

A(3;\, -3;\, 0),\quad B(3;\, 3;\, 0),\quad C(-3;\, 3;\, 0),\quad D(-3;\, -3;\, 0)

$S(0;\, 0;\, 3\sqrt{2})$ (высота пирамиды $SO = 3\sqrt{2}$ , как вычислено в классическом решении)

Точка $K$ - середина $SC$ :

K = \left(\dfrac{0 + (-3)}{2};\, \dfrac{0 + 3}{2};\, \dfrac{3\sqrt{2} + 0}{2}\right) = \left(-\dfrac{3}{2};\, \dfrac{3}{2};\, \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)

Найдём уравнение плоскости $\alpha$ (через $A$ , $B$ , $K$ ) в виде $\mathcal{A}x + \mathcal{B}y + \mathcal{C}z + \mathcal{D} = 0$ :

Подставим $A(3;\, -3;\, 0)$ : $3\mathcal{A} - 3\mathcal{B} + \mathcal{D} = 0$ .
Подставим $B(3;\, 3;\, 0)$ : $3\mathcal{A} + 3\mathcal{B} + \mathcal{D} = 0$ .

Вычитая первое из второго: $6\mathcal{B} = 0 \implies \mathcal{B} = 0$ , тогда $\mathcal{D} = -3\mathcal{A}$ .

Подставим $K$ :

-\dfrac{3\mathcal{A}}{2} + 0 + \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\mathcal{C} - 3\mathcal{A} = 0 \implies -\dfrac{9\mathcal{A}}{2} + \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\mathcal{C} = 0 \implies \mathcal{C} = \dfrac{3\mathcal{A}}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\mathcal{A}\sqrt{2}}{2}

Примем $\mathcal{A} = 2$ : нормаль плоскости $\alpha$ равна $\vec{n}_\alpha = (2;\, 0;\, 3\sqrt{2})$ .

Нормаль плоскости основания $ABCD$ (плоскость $z = 0$ ): $\vec{n}_0 = (0;\, 0;\, 1)$ .

Применим формулу угла между плоскостями:

\cos \psi = \dfrac{|\vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_0|}{|\vec{n}_\alpha| \cdot |\vec{n}_0|} = \dfrac{|0 + 0 + 3\sqrt{2}|}{\sqrt{4 + 0 + 18} \cdot 1} = \dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{22}} = \dfrac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{22}}{22} = \dfrac{3\sqrt{44}}{22} = \dfrac{6\sqrt{11}}{22} = \dfrac{3\sqrt{11}}{11}

Ответ совпал с классическим решением.

Пример 2. Метод координат (Углы и расстояния в кубе)

Условие: Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ . а) Докажите, что прямая $BD_1$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$ . б) Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ACB_1$ , если ребро куба равно $3$ .

Пункт а: вводим систему координат

Введём систему координат. Пусть начало координат совпадает с точкой $D(0;\, 0;\, 0)$ . Ось $Ox$ направим вдоль $DA$ , ось $Oy$ - вдоль $DC$ , ось $Oz$ - вдоль $DD_1$ . Пусть ребро куба равно $a$ . Координаты нужных точек:

D(0;\, 0;\, 0)

A(a;\, 0;\, 0)

C(0;\, a;\, 0)

B(a;\, a;\, 0)

D_1(0;\, 0;\, a)

B_1(a;\, a;\, a)

Пункт а: проверяем перпендикулярность

Найдём координаты вектора $\vec{BD_1}$ : $\vec{BD_1} = (0 - a;\, 0 - a;\, a - 0) = (-a;\, -a;\, a)$ .

Найдём координаты двух векторов, лежащих в плоскости $ACB_1$ , например $\vec{AC}$ и $\vec{AB_1}$ : $\vec{AC} = (0 - a;\, a - 0;\, 0 - 0) = (-a;\, a;\, 0)$ . $\vec{AB_1} = (a - a;\, a - 0;\, a - 0) = (0;\, a;\, a)$ .

Проверим скалярные произведения вектора $\vec{BD_1}$ с направляющими векторами плоскости: $\vec{BD_1} \cdot \vec{AC} = (-a)(-a) + (-a)(a) + a \cdot 0 = a^2 - a^2 = 0$ . $\vec{BD_1} \cdot \vec{AB_1} = (-a) \cdot 0 + (-a)(a) + a \cdot a = -a^2 + a^2 = 0$ .

Так как скалярные произведения равны нулю, вектор $\vec{BD_1}$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым в плоскости $ACB_1$ . Значит, прямая $BD_1$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$ . Доказано.

Пункт б: составляем уравнение плоскости

По условию ребро куба равно $3$ . Значит, координаты точек плоскости: $A(3;\, 0;\, 0)$ , $C(0;\, 3;\, 0)$ , $B_1(3;\, 3;\, 3)$ . Составим уравнение плоскости $ACB_1$ в виде $Ax + By + Cz + D = 0$ . Воспользуемся уравнением плоскости в отрезках (так как она отсекает на осях $X$ и $Y$ отрезки равные 3): $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{c} = 1$ . Подставим точку $B_1(3;\, 3;\, 3)$ для нахождения $c$ : $\frac{3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{3}{c} = 1 \implies 2 + \frac{3}{c} = 1 \implies \frac{3}{c} = -1 \implies c = -3$ . Уравнение плоскости: $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} - \frac{z}{3} = 1$ . Умножим на 3 и перенесём всё в левую часть: $x + y - z - 3 = 0$ .

Пункт б: вычисляем расстояние

Нам нужно найти расстояние от точки $D(0;\, 0;\, 0)$ до этой плоскости. Используем формулу расстояния от точки до плоскости:

d = \dfrac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|-3|}{\sqrt{3}} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}

Пункт а (классика, через теорему о трёх перпендикулярах):

Докажем, что $BD_1$ перпендикулярна двум непараллельным прямым плоскости $ACB_1$ : $AC$ и $AB_1$ .

Шаг 1: $BD_1 \perp AC$ .

В квадрате $ABCD$ диагонали перпендикулярны: $BD \perp AC$ .
По свойству куба, ребро $DD_1 \perp$ плоскости $ABCD$ , значит $DD_1 \perp AC$ .
Прямые $BD$ и $DD_1$ лежат в плоскости $BDD_1B_1$ и обе перпендикулярны $AC$ , значит $AC \perp$ плоскости $BDD_1B_1$ .
Диагональ $BD_1$ лежит в этой плоскости, поэтому $AC \perp BD_1$ .

Шаг 2: $BD_1 \perp AB_1$ .

Рассмотрим плоскость грани $ABB_1A_1$ . Точка $D_1$ не лежит в ней, и её проекция на эту плоскость - точка $A_1$ (так как $D_1 A_1 \perp ABB_1A_1$ ).
Значит, проекция наклонной $BD_1$ на плоскость $ABB_1A_1$ - это диагональ $BA_1$ .
В квадрате $ABB_1A_1$ диагонали $AB_1$ и $BA_1$ перпендикулярны.
По теореме о трёх перпендикулярах: $AB_1 \perp BD_1$ .

Из шагов 1 и 2: $BD_1$ перпендикулярна двум непараллельным прямым плоскости $ACB_1$ , следовательно $BD_1 \perp ACB_1$ . Доказано.

Пункт б (классика, через объём тетраэдра):

Рассмотрим тетраэдр $DACB_1$ . Вычислим его объём двумя способами, выбирая разные основания.

Первый способ: основание - треугольник $ACD$ . Треугольник $ACD$ лежит в грани $ABCD$ , это прямоугольный треугольник с катетами $AD = DC = 3$ :

S_{ACD} = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \dfrac{9}{2}

Высота тетраэдра из вершины $B_1$ - это расстояние от $B_1$ до плоскости $ABCD$ , то есть ребро куба: $h = 3$ .

V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{9}{2} \cdot 3 = \dfrac{9}{2}

Второй способ: основание - треугольник $ACB_1$ . Все стороны $ACB_1$ являются диагоналями граней куба, их длина равна $3\sqrt{2}$ . Значит, $ACB_1$ - равносторонний треугольник:

S_{ACB_1} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot (3\sqrt{2})^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 18 = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}

Высота тетраэдра из вершины $D$ - это искомое расстояние $d$ от $D$ до плоскости $ACB_1$ .

V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{9\sqrt{3}}{2} \cdot d = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot d

Приравняем два выражения для объёма:

\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot d = \dfrac{9}{2} \implies d = \dfrac{9}{3\sqrt{3}} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}

Ответ: $\sqrt{3}$ , совпал с координатным решением.

Пример 3. Угол между прямой и плоскостью

Условие: В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания равна $a$ , а боковое ребро равно $2a$ . а) Докажите, что прямая $B_1D$ перпендикулярна прямой $AC$ . б) Найдите угол между прямой $B_1D$ и плоскостью основания $ABCD$ .

Введём систему координат: начало в вершине $A$ , оси $Ox$ и $Oy$ направим вдоль рёбер $AB$ и $AD$ , ось $Oz$ - вдоль $AA_1$ .

Координаты нужных точек:

A(0;\, 0;\, 0),\quad B(a;\, 0;\, 0),\quad D(0;\, a;\, 0),\quad B_1(a;\, 0;\, 2a)

Направляющий вектор прямой $B_1D$ :

\vec{B_1 D} = D - B_1 = (0 - a;\, a - 0;\, 0 - 2a) = (-a;\, a;\, -2a)

Нормаль к плоскости основания $ABCD$ (плоскость $z = 0$ ): $\vec{n} = (0;\, 0;\, 1)$ .

Применим формулу угла между прямой и плоскостью (через синус):

\sin \theta = \dfrac{|\vec{B_1 D} \cdot \vec{n}|}{|\vec{B_1 D}| \cdot |\vec{n}|} = \dfrac{|{-2a}|}{\sqrt{a^2 + a^2 + 4a^2} \cdot 1} = \dfrac{2a}{a\sqrt{6}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}

Итого $\sin \theta = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$ , значит $\theta = \arcsin \dfrac{\sqrt{6}}{3}$ . Можно убедиться, что это то же самое значение: из $\sin \theta = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$ следует $\cos \theta = \sqrt{1 - \dfrac{6}{9}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ , откуда $\tg \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} = \dfrac{2/\sqrt{6}}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{2}$ . Совпало с классическим решением.

Ответ: б) $\arcsin \dfrac{\sqrt{6}}{3}$ (или, что то же самое, $\arctg \sqrt{2}$ ).

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница между углами: sin и cos

Ошибка: Использовать формулу $\cos = \dfrac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| |\vec{n}|}$ для угла между прямой и плоскостью и записать ответ $\arccos(\ldots)$ . Правильно: Формулы похожи, но угол разный. Запомни: для двух прямых - косинус; для двух плоскостей - косинус; для прямой с плоскостью - синус. Причина: между прямой и плоскостью угол дополняет до $90°$ угол между прямой и нормалью.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неудачная система координат

Ошибка: В кубе с ребром $a$ поставить начало координат в центр куба или середину диагонали - получить координаты вершин в виде $(\pm\dfrac{a}{2};\, \pm\dfrac{a}{2};\, \pm\dfrac{a}{2})$ и запутаться в знаках. Правильно: Почти всегда выгоднее ставить начало координат в одну из вершин многогранника, а оси направлять вдоль рёбер. Тогда координаты вершин выглядят как $(0;\, 0;\, 0)$ , $(a;\, 0;\, 0)$ , $(a;\, a;\, 0)$ и т.д. - их проще подставлять в формулы.

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 15

Время выполнения: 20-30 минут.
Приоритеты: Всегда читай условие 14-го задания. Если пункт «б» выглядит страшным, попробуй решить только пункт «а». Доказательство часто бывает очень простым и приносит полноценный 1 первичный балл (это много!).
Выбор метода: Если в задаче дан куб, прямоугольный параллелепипед или правильная призма с хорошими числами - сразу вводи систему координат. Это механическая работа, которая защитит от необходимости "искать озарение" с дополнительными построениями.
Если застрял: Если классическим методом не удаётся найти нужное расстояние или угол, попробуй задать систему координат. Даже в правильной пирамиде метод координат отлично работает.

За что дают баллы

Оценивание задания 15 очень лояльное. Максимум можно получить 3 балла.

3 балла: Ты безупречно доказал пункт «а» и получил правильный, обоснованный ответ в пункте «б».
2 балла: Есть два способа получить 2 балла:
1. Ты полностью решил только пункт «б» (доказательство пункта «а» не приведено или неверно).
2. Ты доказал пункт «а», логика пункта «б» абсолютно верная, но допущена арифметическая ошибка при счёте (ошибка в вычислениях, например $2+3=6$ ).
1 балл: Даётся в одном из трёх случаев:
1. Ты верно доказал только пункт «а».
2. Ты попытался решить только пункт «б», ход решения правильный, но допущена вычислительная ошибка.
3. Ты решил пункт «б», опираясь на утверждение из пункта «а», но само утверждение не доказал (и при этом получил правильный ответ).
0 баллов: Решение не соответствует ни одному из критериев (ошибки в формулах, неверная геометрия, отсутствие обоснований).

Проверь себя

Какая функция используется в координатной формуле угла между прямой и плоскостью?
Плоскость задана уравнением $2x - y + 2z - 5 = 0$ . Каковы координаты её вектора нормали?
Чему равно расстояние от точки $O(0;\, 0;\, 0)$ до плоскости $x + y - z - 3 = 0$ ?
В каком диапазоне лежит угол между двумя плоскостями?

Задание 15: Стереометрия

О задании

Какие темы встречаются

Два подхода к решению

Основные формулы

Общий алгоритм решения

Примеры решения

Пункт а: строим сечение

Пункт а: доказываем равнобедренность трапеции

Пункт б: строим линейный угол

Пункт б: вычисляем элементы треугольника

Пункт б: находим косинус угла

Пункт а: вводим систему координат

Пункт а: проверяем перпендикулярность

Пункт б: составляем уравнение плоскости

Пункт б: вычисляем расстояние

Пункт а: доказываем перпендикулярность

Пункт б: находим угол через проекцию

Пункт б: вычисляем тангенс

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

За что дают баллы