Комбинированные задачи

Содержание

Комбинированные графики функций (Задание 12)
Основные формулы и виды функций
Алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Стратегия на экзамене

Комбинированные графики функций (Задание 12)

В задании 12 первой части ЕГЭ часто встречаются задачи, где на одной координатной плоскости изображены сразу два графика разных типов: прямая и гипербола, прямая и парабола, реже - две параболы или парабола и корень. Такие задачи комбинируют сразу несколько навыков: узнать вид каждой функции, восстановить её коэффициенты по выделенным точкам и сделать финальное алгебраическое действие.

Чаще всего спрашивают одну из трёх вещей:

абсциссу или ординату «скрытой» точки пересечения графиков $B$ (вторую точку $A$ видно на рисунке, а $B$ уходит за сетку);
значение одной функции в заданной точке, когда коэффициенты нужно сначала достать с графика;
значение выражения с обеими функциями, например композицию $f(g(x_0))$ .

Основные формулы и виды функций

Для успешного решения нужно уверенно узнавать графики базовых функций и помнить их общий вид.

Ключевая идея любой задачи на пересечение графиков заключается в одном простом правиле:

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как найти скрытую точку пересечения

Определи тип первой функции и выбери на её графике удобные узловые точки (где график проходит точно через узлы клетчатой сетки).
Найди коэффициенты первой функции, подставив координаты точек в общее уравнение.
Определи тип второй функции, выбери узловые точки и найди её коэффициенты.
Приравняй полученные выражения $f(x) = g(x)$ и реши уравнение.
Выбери нужный корень. Уравнение даёт два корня. Один совпадёт с $x$ -координатой видимой точки $A$ - это самопроверка. Второй корень - это абсцисса искомой точки $B$ .
Внимательно прочитай вопрос. Если просят найти абсциссу точки $B$ , пиши найденный $x$ . Если просят ординату, подставь найденный $x$ в любую из двух функций и вычисли $y$ .

Примеры решения

Разберём комбинации, которые чаще всего встречаются в тренировочных вариантах.

Пример 1. Гипербола и прямая

На рисунке изображены графики функций $f(x) = \dfrac{k}{x}$ и $g(x) = ax + b$ , которые пересекаются в точках $A$ и $B$ . Найдите абсциссу точки $B$ .

Восстанавливаем уравнение гиперболы

Найдём на гиперболе точку, координаты которой точно определяются по сетке. Например, точку $(-2;\, -3)$ . Подставим $x = -2$ и $y = -3$ в уравнение:

-3 = \frac{k}{-2} \implies k = 6

Уравнение гиперболы: $f(x) = \dfrac{6}{x}$ .

Восстанавливаем уравнение прямой

Прямая пересекает ось $Y$ в узле $(0;\, 1)$ , значит $b = 1$ . Угловой коэффициент $a$ найдём через треугольник между узлами $(0;\, 1)$ и $(2;\, 5)$ : по вертикали прямая поднимается на $4$ клетки, по горизонтали - на $2$ клетки.

a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4}{2} = 2

Уравнение прямой: $g(x) = 2x + 1$ . Проверка по точке $A(-2;\, -3)$ : $g(-2) = 2 \cdot (-2) + 1 = -3$ . Совпало - уравнение прямой восстановлено верно.

Ищем точки пересечения

Приравняем функции:

\frac{6}{x} = 2x + 1

Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$ ):

6 = 2x^2 + x

2x^2 + x - 6 = 0

Вычисляем дискриминант:

D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49

Находим корни:

x_1 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = 1{,}5

x_2 = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2

Анализируем результат

Корень $x = -2$ - это абсцисса точки $A$ , которую мы и так видим на чертеже. Значит, абсцисса скрытой точки $B$ равна $1{,}5$ . В условии просят найти именно абсциссу.

Ответ: $1{,}5$

Пример 2. Парабола и прямая

На рисунке изображены графики функций $f(x) = ax^2 + bx + c$ и $g(x) = kx + d$ , которые пересекаются в точках $A$ и $B$ . Найдите ординату точки $B$ .

Восстанавливаем уравнение параболы

Удобнее всего использовать формулу через вершину: $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ , где $(x_0;\, y_0)$ - координаты вершины. По графику видно, что вершина находится в точке $(1;\, -4)$ . Подставляем:

f(x) = a(x - 1)^2 - 4

Чтобы найти $a$ , возьмём любую другую точную точку на параболе. Например, $(-1;\, 0)$ .

0 = a(-1 - 1)^2 - 4

0 = a(-2)^2 - 4 \implies 4a = 4 \implies a = 1

Запишем итоговое уравнение параболы, раскрыв скобки:

f(x) = 1 \cdot (x^2 - 2x + 1) - 4 = x^2 - 2x - 3

Восстанавливаем уравнение прямой

Прямая проходит через точки $(-1;\, 0)$ и $(0;\, 2)$ . Коэффициент $d$ - это точка пересечения с осью $Y$ . По графику видно, что прямая пересекает ось $Y$ в точке $2$ . Значит, $d = 2$ . Найдём $k$ (угловой коэффициент) по треугольнику: между точками $(-1;\, 0)$ и $(0;\, 2)$ прямая поднимается на $2$ клетки вверх на $1$ клетку вправо.

k = \frac{2}{1} = 2

Уравнение прямой: $g(x) = 2x + 2$ .

Ищем точки пересечения

Приравняем функции:

x^2 - 2x - 3 = 2x + 2

Перенесём всё в левую часть:

x^2 - 4x - 5 = 0

По теореме Виета сумма корней равна $4$ , а произведение $-5$ . Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$ .

Анализируем результат

Корень $x = -1$ принадлежит видимой точке $A$ . Следовательно, абсцисса скрытой точки $B$ равна $5$ . Внимательно читаем вопрос: требуется найти ординату точки $B$ (то есть $y$ ). Подставим $x = 5$ в любое из уравнений (в прямую считать проще):

g(5) = 2 \cdot 5 + 2 = 12

Ответ: $12$

Пример 3. Композиция функций по двум графикам

На рисунке в одной системе координат изображены графики функций $f(x) = ax^2 + bx + c$ и $g(x) = kx + d$ . Найдите значение $f(g(-1))$ .

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 12

Ориентировочное время: 5-10 минут.
Мощный метод самопроверки: как только уравнения $f(x)$ и $g(x)$ восстановлены, подставь в них координаты видимой точки пересечения $A$ . Если в обеих формулах получается правильное значение $y$ , значит уравнения составлены верно. Это страхует от обидных вычислительных ошибок на первых шагах.
Проверка финального ответа: если абсцисса невидимой точки $B$ получилась равной, скажем, $1{,}5$ (как в Примере 1), мысленно продли графики на чертеже в сторону $x = 1{,}5$ . Похоже ли, что они там пересекутся? Если по вычислениям $B$ находится слева, а на графике видно, что прямая уходит вверх от гиперболы и они расходятся - ищи ошибку в знаках при решении квадратного уравнения.

Проверь себя

Графики $y = f(x)$ и $y = g(x)$ пересекаются в точке с абсциссой $x_0$ . Какое равенство обязательно выполняется?
Прямая $y = kx + b$ проходит через узлы $(0;\, 1)$ и $(2;\, 5)$ . Чему равен угловой коэффициент $k$ ?
Гипербола $y = \dfrac{k}{x}$ проходит через точку $(-2;\, -3)$ . Чему равно $k$ ?
Дано: $g(x) = 2x + 1$ , $f(x) = x^2 - 4x + 3$ . Чему равно $f(g(-1))$ ?

Комбинированные задачи

Комбинированные графики функций (Задание 12)

Основные формулы и виды функций

Алгоритм решения

Примеры решения

Восстанавливаем уравнение гиперболы

Восстанавливаем уравнение прямой

Ищем точки пересечения

Анализируем результат

Восстанавливаем уравнение параболы

Восстанавливаем уравнение прямой

Ищем точки пересечения

Анализируем результат

Восстанавливаем уравнение прямой

Восстанавливаем уравнение параболы

Считаем значение композиции

Частые ошибки

Стратегия на экзамене