Неравенство Чебышёва и закон больших чисел

Содержание

Неравенство Чебышёва и закон больших чисел (Задание 6)
Что утверждает неравенство
Та же формула в сигмах
Оценка снизу
Среднее по выборке и закон больших чисел
Алгоритм
Примеры решения
Частые ошибки

Неравенство Чебышёва и закон больших чисел (Задание 6)

Обычно, чтобы найти вероятность, нужно знать распределение. Неравенство Чебышёва снимает это требование: зная только среднее и разброс, оно даёт оценку сверху для вероятности большого отклонения. Распределение может быть любым - хоть таблица из трёх строк, хоть масса мешка цемента. В задании 6 сюжеты производственные: масса фасовки, расход ткани, диаметр детали. Формулу в условии обычно приводят целиком, и задача сводится к аккуратной подстановке.

Что утверждает неравенство

Коридор вокруг среднего и два хвоста, которые оценивает неравенство

ЗАМЕЧАНИЕ

Почему это работает без распределения

Дисперсия - это средний квадрат отклонения от среднего. Каждое значение, ушедшее от среднего дальше чем на $\varepsilon$ , вносит в эту сумму не меньше $\varepsilon^2$ , умноженного на свою вероятность. Значит, $D(X) \geqslant \varepsilon^2 \cdot P(|X - E(X)| \geqslant \varepsilon)$ - остаётся разделить на $\varepsilon^2$ . Никаких предположений о форме распределения по дороге не потребовалось: работает и таблица, и колокол, и что угодно ещё.

Та же формула в сигмах

Граница Чебышёва против настоящей вероятности

Оценка снизу

Среднее по выборке и закон больших чисел

Отдельный сюжет: величину измеряют $n$ раз независимо и берут среднее $\overline{X} = \dfrac{X_1 + \ldots + X_n}{n}$ . Центр остаётся на месте, а разброс сжимается.

Разброс среднего сжимается с ростом числа измерений

Выборочное среднее успокаивается к математическому ожиданию

Алгоритм

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на неравенство Чебышёва

Выпиши $E(X)$ и $\sigma(X)$ из условия. Обычно дано именно стандартное отклонение, а в формулу идёт дисперсия.
Возведи в квадрат: $D(X) = \sigma^2(X)$ . Это шаг, который забывают чаще всего.
Если речь о среднем по $n$ измерениям, подели: $D(\overline{X}) = \dfrac{D(X)}{n}$ .
Найди $\varepsilon$ . Это то отклонение, которое названо в вопросе: «не менее чем на $2$ кг» означает $\varepsilon = 2$ .
Подставь в неравенство и доведи дробь до конечной десятичной.
Проверь вопрос. «Оцените сверху» - берём $\dfrac{D}{\varepsilon^2}$ ; «оцените снизу» - берём $1 - \dfrac{D}{\varepsilon^2}$ .

Примеры решения

Пример 1. Мешки цемента

Условие: Завод фасует цемент в мешки. Масса мешка - случайная величина с математическим ожиданием $50$ кг и стандартным отклонением $0{,}4$ кг. Оцените сверху вероятность того, что масса случайно взятого мешка отличается от $50$ кг не менее чем на $2$ кг.

Пример 2. Расход ткани

Условие: На швейной фабрике расход ткани на одно изделие - случайная величина с математическим ожиданием $2{,}5$ м и стандартным отклонением $0{,}15$ м. Оцените сверху вероятность того, что расход ткани на случайно выбранное изделие отличается от среднего не менее чем на $0{,}5$ м.

Пример 3. Средняя масса детали в партии

Условие: Масса одной детали - случайная величина с математическим ожиданием $200$ г и стандартным отклонением $5$ г, массы разных деталей независимы. В партию отбирают $100$ деталей и вычисляют среднюю массу детали в партии. Оцените сверху вероятность того, что эта средняя масса отличается от $200$ г не менее чем на $2$ г.

Пример 4. Оценка снизу

Условие: Диаметр вала - случайная величина с математическим ожиданием $40$ мм и стандартным отклонением $0{,}3$ мм. Оцените снизу вероятность того, что диаметр случайно выбранного вала отличается от $40$ мм менее чем на $1{,}5$ мм.

Частые ошибки

ИТОГ

Что запомнить

$P(|X - E(X)| \geqslant \varepsilon) \leqslant \dfrac{D(X)}{\varepsilon^2}$ - работает при любом распределении.
В числителе дисперсия: дано $\sigma$ , сначала возведи в квадрат.
В сигмах: $P(|X - E(X)| \geqslant k\sigma) \leqslant \dfrac{1}{k^2}$ .
Для среднего по $n$ независимым измерениям $D(\overline{X}) = \dfrac{D(X)}{n}$ , и граница делится на $n$ .
Закон больших чисел: с ростом $n$ вероятность заметного отклонения среднего от $E(X)$ стремится к нулю.
Оценка снизу для малого отклонения: $1 - \dfrac{D}{\varepsilon^2}$ .

СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: 3 минуты. Формулу дают в условии, работы ровно на две подстановки.
Первый ход: выпиши в столбик $E$ , $\sigma$ , $D = \sigma^2$ , $n$ , $\varepsilon$ . Половина ошибок - это перепутанные $\sigma$ и $\varepsilon$ .
Проверка диапазоном: ответ обязан лежать между $0$ и $1$ . Больше единицы - потеряно деление на $n$ или перепутаны $\sigma$ и $D$ .
Проверка через сигмы: переведи $\varepsilon$ в сигмы и сравни ответ с $\dfrac{1}{k^2}$ - результат обязан совпасть.
Дроби с десятичными: $\dfrac{a}{0{,}25} = 4a$ , $\dfrac{a}{0{,}04} = 25a$ . Так быстрее и без калькулятора.

Проверь себя

Дано $D(X) = 0{,}36$ и $\varepsilon = 3$ . Какова граница Чебышёва для $P(|X - E(X)| \geqslant 3)$ ?
В условии дано $\sigma(X) = 2$ , а $\varepsilon = 10$ . Что подставляется в числитель неравенства?
Чему равна дисперсия среднего по $25$ независимым измерениям, если дисперсия одного измерения равна $50$ ?
Какова граница Чебышёва для вероятности отклониться от среднего не менее чем на три стандартных отклонения?
Что утверждает закон больших чисел?

Неравенство Чебышёва и закон больших чисел

Неравенство Чебышёва и закон больших чисел (Задание 6)

Что утверждает неравенство

Та же формула в сигмах

Оценка снизу

Среднее по выборке и закон больших чисел

Алгоритм

Примеры решения

Переходим от отклонения к дисперсии

Находим $\varepsilon$

Подставляем в неравенство

Считаем дисперсию

Подставляем $\varepsilon = 0{,}5$

Записываем среднюю массу

Считаем дисперсию среднего

Применяем неравенство при $\varepsilon = 2$

Считаем дисперсию и границу сверху

Переходим к противоположному событию

Частые ошибки

Неравенство Чебышёва и закон больших чисел

Неравенство Чебышёва и закон больших чисел (Задание 6)

Что утверждает неравенство

Та же формула в сигмах

Оценка снизу

Среднее по выборке и закон больших чисел

Алгоритм

Примеры решения

Переходим от отклонения к дисперсии

Находим ε\varepsilonε

Подставляем в неравенство

Считаем дисперсию

Подставляем ε=0,5\varepsilon = 0{,}5ε=0,5

Записываем среднюю массу

Считаем дисперсию среднего

Применяем неравенство при ε=2\varepsilon = 2ε=2

Считаем дисперсию и границу сверху

Переходим к противоположному событию

Частые ошибки

Находим $\varepsilon$

Подставляем $\varepsilon = 0{,}5$

Применяем неравенство при $\varepsilon = 2$