Наибольшее и наименьшее значение функции

Находим производную

Находим критические точки

Решим уравнение $y' = 0$:

Разделим обе части на $3$:

По теореме Виета корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

Расставляем знаки производной

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки производной. График производной - это парабола ветвями вверх, значит знаки чередуются: $+$, $-$, $+$.

При переходе через точку $x = -3$ производная меняет знак с $+$ на $-$ (это точка максимума). При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с $-$ на $+$ (это точка минимума).

Записываем ответ

Нас просят найти точку минимума, значит ответ $1$. Вычислять само значение функции не нужно.

Ответ: 1

Находим производную

Помни, что $(\ln(x+3))' = \dfrac{1}{x+3}$.

Находим критическую точку

Приравняем производную к нулю:

Разделим на $5$:

Проверяем точку и знаки производной

Проверим, принадлежит ли точка $x = -2$ заданному отрезку $[-2{,}5;\, 0]$. Да, принадлежит. Определим знак производной в окрестности этой точки. Если $x = -0{,}5$ (правее), $y' = 5 - \dfrac{5}{2{,}5} > 0$. Если $x = -2{,}3$ (левее), $y' = 5 - \dfrac{5}{0{,}7} < 0$. Знак меняется с $-$ на $+$, значит $x = -2$ - точка минимума. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке достигается именно в ней.

Вычисляем наименьшее значение

Найдём наименьшее значение функции, подставив $x = -2$ в исходное уравнение:

Так как $\ln(1) = 0$, получаем:

Ответ: -6

Находим производную произведения

Здесь нужно применить правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, а также учесть, что $(e^{3-x})'$ - это сложная функция:

Найдём производную:

Упрощаем производную

Вынесем общий множитель $e^{3-x} \cdot (x+5)$ за скобку:

Находим критические точки

Приравняем к нулю. Экспонента $e^{3-x}$ всегда строго больше нуля, поэтому корни дают только скобки:

Расставляем знаки и выбираем точку максимума

Отметим точки на прямой и определим знаки. Выражение для $y'$ представляет собой произведение всегда положительной экспоненты на квадратичную функцию $-(x+5)(x+3)$. Это парабола ветвями вниз. Знаки на интервалах: $-$, $+$, $-$.

Точка максимума (переход с $+$ на $-$) достигается в $x = -3$. Нас просят найти точку максимума, поэтому подставлять в исходную функцию не нужно.

Ответ: -3