Половина задач шестого номера звучит на один лад: «найдите средний выигрыш на один билет», «найдите среднюю стоимость ремонта», «найдите математическое ожидание прибыли с одного полиса». Спрашивают везде одно и то же число - математическое ожидание E(X). Это значение, вокруг которого случайная величина держится в длинной серии: в одном опыте выпасть может что угодно, но средний результат тысячи повторений окажется рядом с E(X).
Считается оно одной формулой в две-три строки. Вся трудность не в арифметике, а в том, чтобы честно выписать все значения величины вместе с вероятностями - включая те исходы, о которых в условии прямо не сказано.
Определение и его смысл
Формулу проще всего понять через механику. Положи на невесомую линейку грузики: в точку xi - грузик массы pi. Общая масса равна 1, потому что сумма вероятностей равна единице. Тогда E(X) - ровно та точка, в которой линейку можно подпереть, и она не перевесит ни влево, ни вправо. Отсюда сразу два следствия: E(X) всегда лежит между наименьшим и наибольшим значениями, а редкое, но большое значение работает как гиря на длинном плече - даже с вероятностью 0,2 оно ощутимо утягивает среднее к себе.
Как считать по таблице распределения
Свойства, которые экономят время
Примеры решения
Пять сюжетов закрывают почти всё, что встречается в шестом номере.
Пример 1. Ожидание по готовой таблице
В кофейне подсчитали, сколько десертов покупают вместе с напитком по одному чеку. Случайная величина X - число десертов в чеке:
X
0
1
2
3
P
0,6
0,3
0,08
0,02
Найдите математическое ожидание числа десертов в одном чеке.
Проверяем таблицу
0,6+0,3+0,08+0,02=1
Сумма сошлась, значит все значения на месте.
Считаем сумму произведений
E(X)=0⋅0,6+1⋅0,3+2⋅0,08+3⋅0,02
E(X)=0+0,3+0,16+0,06=0,52
Первое слагаемое равно нулю, но выписывать его стоит: так труднее потерять значение.
Проверяем правдоподобие
0,52 лежит между 0 и 3 - всё в порядке. Меньше единицы среднее и должно быть: в шести чеках из десяти десертов нет вовсе.
Ответ: 0,52
Пример 2. Лотерея: значение, которого нет в таблице
Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
Выписываем значения величины
X - выигрыш на один наугад взятый билет. Значения: 200, 1000, 5000, 20000 и обязательно 0 - большинство билетов не выигрывает ничего, но куплены и они.
Находим вероятности
Каждая вероятность - доля билетов данного вида от всех 5000:
P(X=200)=5000300=0,06,P(X=1000)=500060=0,012
P(X=5000)=50008=0,0016,P(X=20000)=50001=0,0002
Выигрышных билетов 300+60+8+1=369, пустых 4631, поэтому P(X=0)=0,9262.
Считаем ожидание
Слагаемое с нулём ничего не добавляет, складываем остальные четыре:
E(X)=200⋅0,06+1000⋅0,012+5000⋅0,0016+20000⋅0,0002
E(X)=12+12+8+4=36
Короткий путь
Тот же ответ даёт подсчёт без вероятностей. Призовой фонд равен
200⋅300+1000⋅60+5000⋅8+20000⋅1=180000
Делим его на число билетов: 180000:5000=36. Так вся арифметика остаётся в целых числах.
Ответ: 36
Пример 3. Страховая компания: значение бывает отрицательным
Страховая компания продаёт полис от поломки бытовой техники за 3500 рублей. Вероятность страхового случая в течение года равна 0,04; при его наступлении компания выплачивает клиенту 60000 рублей. Найдите математическое ожидание прибыли компании с одного полиса. Ответ дайте в рублях.
Определяем случайную величину
X - прибыль компании с одного полиса. Взнос 3500 рублей компания получает в любом случае, выплату делает только при страховом случае. Значит, у величины ровно два значения:
страхового случая нет, вероятность 1−0,04=0,96, прибыль 3500;
страховой случай есть, вероятность 0,04, прибыль 3500−60000=−56500.
Считаем ожидание
E(X)=0,96⋅3500+0,04⋅(−56500)=3360−2260=1100
Проверяем вторым способом
Запишем прибыль как X=3500−Y, где Y - выплата: она равна 60000 с вероятностью 0,04 и нулю с вероятностью 0,96. Тогда E(Y)=0,04⋅60000=2400, и по свойству линейности
E(X)=3500−E(Y)=3500−2400=1100
Ответы совпали.
Ответ: 1100
Пример 4. Обратная задача: ожидание известно, значение - нет
В мастерской стоимость ремонта одного устройства принимает три значения: 1500 рублей с вероятностью 0,45, 4000 рублей с вероятностью 0,35 и x рублей с вероятностью 0,2. Средняя стоимость ремонта равна 3500 рублей. Найдите x.
Записываем формулу с неизвестным
Сумма вероятностей 0,45+0,35+0,2=1, значит таблица полная и других значений нет.
1500⋅0,45+4000⋅0,35+x⋅0,2=3500
Решаем уравнение
675+1400+0,2x=3500
0,2x=3500−2075=1425
x=0,21425=7125
Проверяем
Среднее обязано лежать между наименьшим и наибольшим значениями: наименьшее 1500, наибольшее 7125, и 3500 между ними. Заодно ясно, почему x вышло большим: на два дешёвых исхода приходится 80% вероятности.
Ответ: 7125
Пример 5. Линейная замена
За смену курьер развозит X заказов, причём E(X)=12. Оплата смены складывается из фиксированной части 1000 рублей и 250 рублей за каждый доставленный заказ. Найдите математическое ожидание оплаты за смену. Ответ дайте в рублях.
Выражаем оплату через число заказов
Y=250X+1000
Распределение X в условии не дано, и оно не нужно: замена линейная.
Применяем свойство
E(Y)=250⋅E(X)+1000=250⋅12+1000=3000+1000=4000
Ответ: 4000
Частые ошибки
Что запомнить
E(X)=x1p1+…+xnpn - сумма произведений «значение на вероятность». Обозначение M(X) значит ровно то же.
До вычислений проверь, что сумма вероятностей равна 1: одна строка ловит потерянное значение.
Нулевой исход - полноправное значение. «На один билет», «с одного полиса» означают, что в подсчёт входят все объекты.
E(aX+b)=aE(X)+b: линейная замена не требует пересчёта таблицы. E(X+Y)=E(X)+E(Y) верно всегда.
Среднее число успехов в n независимых испытаниях равно np.
E(X) лежит между наименьшим и наибольшим значениями величины - бесплатная проверка ответа.
Проверь себя
Величина X принимает значения 2 и 12 с вероятностями 0,7 и 0,3. Чему равно E(X)?
Известно, что E(X)=4. Чему равно E(3X−5)?
В лотерее 2000 билетов, общий призовой фонд равен 30000 рублей. Чему равно математическое ожидание выигрыша на один билет?
Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,3. Сколько попаданий в среднем даст серия из 40 выстрелов?
Что обязательно верно для математического ожидания?
