Окружности и треугольники, разные задачи

Пункт а. Равнобедренные треугольники и счёт углов

1. Точки $E$ и $K$ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $BM$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Значит, $EB = EM$ и $KB = KM$.
2. Треугольники $EBM$ и $KBM$ - равнобедренные. Пусть $\angle ABM = \alpha$, а $\angle CBM = \beta$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, $\angle B = 60^\circ$, следовательно $\alpha + \beta = 60^\circ$. Из равнобедренности получаем: $\angle EMB = \angle EBM = \alpha$ и $\angle KMB = \angle KBM = \beta$.
3. Найдём угол $EMK$: $\angle EMK = \angle EMB + \angle KMB = \alpha + \beta = 60^\circ$.

Пункт а. Доказываем подобие по двум углам

4. Угол $AMC$ - развёрнутый ($180^\circ$). Составим сумму углов с вершиной $M$: $\angle AME + \angle EMK + \angle KMC = 180^\circ$ $\angle AME + 60^\circ + \angle KMC = 180^\circ \implies \angle AME + \angle KMC = 120^\circ$.
5. Рассмотрим треугольник $AEM$. Сумма его углов равна $180^\circ$, а $\angle A = 60^\circ$. Значит, $\angle AME + \angle AEM = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
6. Сравнивая равенства из п.4 и п.5, получаем, что $\angle AEM = \angle KMC$.
7. В треугольниках $AEM$ и $CMK$ есть две пары равных углов: $\angle A = \angle C = 60^\circ$ и $\angle AEM = \angle KMC$. Следовательно, $\triangle AEM \sim \triangle CMK$ по двум углам. Ч.т.д.

Пункт б. Коэффициент подобия и обозначения

1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия ($k^2$).

Значит, все стороны $\triangle AEM$ относятся к соответствующим сторонам $\triangle CMK$ как $2:3$.

2. Пусть сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна $a$. Введём обозначения: $AM = x$, $MC = y$. Тогда $x + y = a$. Выразим нужные отрезки через $x$ и $y$:

Пункт б. Составляем уравнение и находим отношение

3. Используем длины сторон исходного треугольника: Сторона $AB = a \implies AE + EB = x + y$. Так как $EB = EM$, получаем:

Сторона $BC = a \implies CK + KB = x + y$. Так как $KB = KM$, получаем:

4. Мы знаем, что $EM = \dfrac{2}{3}KM$. Подставим полученные выражения:

Перенесём $x$ влево, а $y$ вправо:

5. Нас просят найти отношение $AM:MC$, то есть $x:y$. Так как $y = 4x$, отношение $x:y = 1:4$.

Ответ: б) $1:4$

Пункт а. Переформулируем и находим равные углы

Требуемое равенство $AB \cdot KH = BC \cdot C_1H$ можно переписать в виде пропорции: $\dfrac{KH}{BC} = \dfrac{C_1H}{AB}$. Это явный намёк на подобие треугольников $C_1KH$ и $ABC$. Докажем это подобие.

1. Прямая $C_1K \parallel BB_1$. Высота $BB_1 \perp AC$, следовательно, и прямая $C_1K \perp AC$.
2. В прямоугольном треугольнике $ABB_1$ угол $\angle ABB_1 = 90^\circ - \angle A$.
3. Найдём углы $\triangle C_1KH$:

• $\angle C_1KH$: Так как $C_1K \parallel BB_1$, прямая $AA_1$ является секущей. Значит, $\angle C_1KH = \angle AHB_1$ (внутренние накрест лежащие). В прямоугольном треугольнике $AHB_1$ угол $\angle AHB_1 = 90^\circ - \angle HAB_1$. Но $\angle HAB_1$ - это часть прямоугольного треугольника $AA_1C$, где $\angle A_1AC = 90^\circ - \angle C$. Следовательно, $\angle C_1KH = 90^\circ - (90^\circ - \angle C) = \angle C$. Первый угол совпал!

• $\angle KC_1H$: Прямые $C_1K \parallel BB_1$, секущая $CC_1$. Накрест лежащие углы равны: $\angle KC_1H = \angle BHC_1$. В прямоугольном треугольнике $CC_1B$ (где $\angle CC_1B = 90^\circ$) угол $\angle C_1BH = 90^\circ - \angle A$. Тогда в прямоугольном треугольнике $C_1HB$ угол $\angle BHC_1 = 90^\circ - (90^\circ - \angle A) = \angle A$. Следовательно, $\angle KC_1H = \angle A$. Второй угол совпал!

Пункт а. Подобие и пропорция

4. Так как два угла треугольника $C_1KH$ равны двум углам треугольника $ABC$ ($\angle K = \angle C$ и $\angle C_1 = \angle A$), треугольники подобны.
5. Запишем отношение соответственных сторон (лежащих напротив равных углов): $\dfrac{KH \text{ (напротив } \angle A)}{BC \text{ (напротив } \angle A)} = \dfrac{C_1H \text{ (напротив } \angle C)}{AB \text{ (напротив } \angle C)}$ Отсюда $KH \cdot AB = C_1H \cdot BC$. Ч.т.д.

Пункт б. Тригонометрия исходного треугольника

1. Площади подобных треугольников $C_1KH$ и $ABC$ относятся как квадрат коэффициента подобия:

Из доказанного в пункте «а» мы знаем, что $k = \dfrac{C_1H}{AB}$. По условию $AB = 6$. Осталось найти длину отрезка $C_1H$. 2. Найдём косинус угла $B$ из $\triangle ABC$ по теореме косинусов ($a=4, b=5, c=6$):

3. В прямоугольном $\triangle C_1BC$ найдём катеты:

4. Найдём $\operatorname{tg} A$ в $\triangle ABC$:

Пункт б. Находим отрезок и отношение площадей

5. В прямоугольном $\triangle C_1HB$ угол $\angle C_1HB = \angle A$ (доказано в п.3 части «а»).

6. Вычисляем коэффициент подобия:

7. Отношение площадей:

Ответ: б) $\dfrac{81}{448}$