Неравенства с параметром

Выражаем параметр

Перенесём $a$ в правую часть:

Переформулируем условие

Неравенство должно выполняться для всех $x$ из отрезка $[1;\, 3]$. Это значит, что число $a$ должно быть не больше наименьшего значения функции $f(x) = 4x - x^2$ на этом отрезке:

Ищем минимум $f(x) = 4x - x^2$ на $[1;\, 3]$

Это парабола ветвями вниз с вершиной в точке $x_v = \dfrac{-4}{-2} = 2$. Значение в вершине: $f(2) = 8 - 4 = 4$ (это максимум, нам он не нужен). На отрезке функция возрастает на $[1;\, 2]$ и убывает на $[2;\, 3]$. Значит, минимум достигается в одном из концов отрезка:

Оба значения совпали, минимум равен $3$.

Собираем ответ

Ответ: $a \in (-\infty;\, 3]$.

Решаем неравенство относительно $x$

Обозначь левую часть $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 1$. Это парабола ветвями вверх. Найди её корни, приравняв к нулю:

Заметь формулу полного квадрата:

Отсюда $x - a = 1$ или $x - a = -1$. Корни: $x_1 = a - 1$, $x_2 = a + 1$.

Так как парабола направлена ветвями вверх, решение неравенства $f(x) \leqslant 0$ - это отрезок между корнями:

Накладываем условие задачи

Нужно, чтобы множество решений $[a - 1;\, a + 1]$ имело хотя бы одну общую точку (пересекалось) с отрезком $[0;\, 2]$.

Два отрезка $[A;\, B]$ и $[C;\, D]$ пересекаются тогда и только тогда, когда левый конец первого не больше правого конца второго, и наоборот:

Применяем к нашей задаче (отрезки $[a - 1;\, a + 1]$ и $[0;\, 2]$):

Решаем систему

Ответ: $a \in [-1;\, 3]$.

Будем решать задачу графически на плоскости $(x; a)$.

Преобразуем каждое неравенство в геометрическую фигуру

Первое неравенство: $x^2 - 8x + a^2 \leqslant 0$. Добавим $16$ к обеим частям, чтобы выделить полный квадрат:

Это круг с центром в точке $(4;\, 0)$ и радиусом $R = 4$.

Второе неравенство: $2a \leqslant x \implies a \leqslant \dfrac{x}{2}$. Граница - прямая $a = 0{,}5x$. Нам нужна область под этой прямой (или на ней).

Третье неравенство: $a \leqslant 6 - x$. Граница - прямая $a = -x + 6$. Нам снова нужна область под этой прямой.

Ищем пересечение областей в полосе $x \in [3;\, 4]$

Система имеет хотя бы одно решение на отрезке $[3;\, 4]$, если в полосе между прямыми $x = 3$ и $x = 4$ существует хотя бы одна точка $(x; a)$, принадлежащая общей закрашенной области. Значит, нам нужно найти минимально и максимально возможные значения $a$ для закрашенной фигуры строго внутри этой полосы.

Найдём верхнюю границу $a$

Сверху фигура ограничена прямыми $a = 0{,}5x$ и $a = 6 - x$. Найдём точку их пересечения:

При $x = 4$ получаем $a = 2$. На отрезке $x \in [3;\, 4]$ прямая $a = 0{,}5x$ лежит ниже прямой $a = 6 - x$ (при $x=3$ получаем $1{,}5 < 3$). Значит, верхней границей закрашенной области в нашей полосе является отрезок прямой $a = 0{,}5x$. Эта прямая возрастает, поэтому наивысшая точка достигается на правом конце полосы, при $x = 4$. Максимальное значение $a = 2$. Проверка: лежит ли точка $(4;\, 2)$ внутри круга? $(4-4)^2 + 2^2 = 4 \leqslant 16$. Да, лежит.

Найдём нижнюю границу $a$

Снизу фигура ограничена только нижней дугой окружности:

Раскроем скобки под корнем: $a = -\sqrt{8x - x^2}$. Нужно найти самую низкую точку этой дуги на отрезке $x \in [3;\, 4]$. Обозначь $g(x) = 8x - x^2$. Её график - парабола ветвями вниз с вершиной $x_v = \dfrac{-8}{-2} = 4$. На отрезке $[3;\, 4]$ подкоренное выражение $g(x)$ возрастает. Значит, корень из него возрастает, а корень со знаком минус - убывает. Следовательно, минимальное значение $a$ достигается в точке $x = 4$. Подставляем $x = 4$:

Подводим итог

Внутри вертикальной полосы $x \in [3;\, 4]$ наша закрашенная фигура непрерывна и занимает все высоты от $a = -4$ до $a = 2$. Любая горизонтальная прямая, проведённая на высоте из отрезка $[-4;\, 2]$, пересечёт фигуру внутри нужной полосы, а значит, система будет иметь хотя бы одно решение.

Ответ: $a \in [-4;\, 2]$.