Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмические уравнения и неравенства в прикладных задачах (Задание 10)

Задание 10 проверяет умение работать с формулами из физики, техники и химии. Логарифмы в этом номере встречаются реже, чем показательные или степенные функции, но в банке задач они присутствуют стабильно. Чаще всего это сюжет про работу при изотермическом сжатии газа в водолазном колоколе, реже - задачи про уровень звука в децибелах или про pH.

Главное, что нужно понимать: от тебя не требуется знание физики. Задача чисто алгебраическая - найти в тексте формулу, выписать все известные значения, подставить их и решить полученное логарифмическое уравнение или неравенство.

Основные формулы

Для задания 10 достаточно помнить определение логарифма и одно свойство потенцирования.

Алгоритм решения

Чтобы не запутаться в длинном тексте задачи, придерживайся чёткого плана.

Примеры решения

Ниже три типовые задачи: два сюжета с основанием $2$ и одна задача на уровень звука с $\log_{10}$.

Пример 1. Поиск конечного давления (основание 2)

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 2$ моль воздуха при давлении $p_1 = 1{,}5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ (в атмосферах). Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле:

$$A = \alpha \nu T \log_2 \dfrac{p_2}{p_1}$$

где $\alpha = 8{,}5 \, \text{Дж}/(\text{моль} \cdot \text{К})$ - постоянная, $T = 300 \, \text{К}$ - температура воздуха. Найди, какое давление $p_2$ будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии была совершена работа в $10\,200$ Дж. Ответ дай в атмосферах.

Второй пример - та же схема, но теперь неизвестная стоит в знаменателе логарифма.

Пример 2. Поиск конечного объёма

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 5$ моль воздуха объёмом $V_1 = 32$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в литрах). Работа (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A = \alpha \nu T \log_2 \dfrac{V_1}{V_2}$, где $\alpha = 11{,}5 \, \text{Дж}/(\text{моль} \cdot \text{К})$, $T = 250 \, \text{К}$. Найди, какой объём $V_2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии была совершена работа $43\,125$ Дж. Ответ дай в литрах.

Теперь пример с неравенством и десятичным логарифмом. В условии часто звучит слово «не менее» или «не более» - это всегда знак неравенства.

Пример 3. Уровень звука в децибелах (основание 10)

Уровень громкости $L$ (в дБ) звука с интенсивностью $I$ (в Вт/м²) вычисляется по формуле

$$L = 10 \log_{10} \dfrac{I}{I_0},$$

где $I_0 = 10^{-12}$ Вт/м² - порог слышимости. На концерте установлено ограничение: уровень громкости не должен превышать $90$ дБ. Найди наибольшую допустимую интенсивность $I$, при которой концерт не нарушает норму. Ответ дай в Вт/м².

Частые ошибки

Что запомнить

• Страшный физический текст - это декорация. Твоя работа: выписать числа, подставить в формулу, изолировать логарифм, потенцировать.
• Внимательно смотри, что именно требуется ($V_1$ или $V_2$, $p_1$ или $p_2$): они стоят на разных местах в дроби - в числителе или знаменателе.
• В неравенстве с $\log_a$: основание $>1$ - знак сохраняется, основание $<1$ - знак меняется.
• В задачах на «наибольшее/наименьшее» при условии «не более/не менее» ответ всегда совпадает с границей полученного промежутка.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равен $x$, если $\log_2 \dfrac{x}{3} = 4$?
   • $48$
   • $24$
   • $12$
   • $81$
2. Из уравнения $10\,200 = 5100 \cdot \log_2 \dfrac{p_2}{1{,}5}$ следует, что $\dfrac{p_2}{1{,}5}$ равно
   • $2$
   • $4$
   • $8$
   • $6$
3. В неравенстве $\log_{0{,}5} x \geqslant 3$ при потенцировании знак неравенства
   • сохраняется, так как логарифм всегда возрастает
   • меняется на противоположный, так как основание меньше $1$
   • меняется, только если правая часть отрицательна
4. Чему равно $\log_{10} 0{,}01$?
   • $2$
   • $-2$
   • $-1$
   • $0{,}2$

Проверить