Задачи на проценты, сплавы и смеси

Суть темы

Задачи на проценты, сплавы и смеси встречаются в задании 11 редко, но регулярно. Сюжеты бывают разные: сливают растворы кислоты, сплавляют куски металла, сушат грибы или виноград. Математика во всех случаях одна и та же - баланс массы чистого вещества.

Когда ты сливаешь два раствора или сплавляешь два куска сплава, общая масса смеси равна сумме масс компонентов. То же касается и чистого вещества внутри: сколько чистой меди (или чистой кислоты, или сухого остатка) было в каждом куске до смешивания, столько же суммарно окажется и после. Вода испаряется - сухое вещество остаётся. Это главный инвариант темы.

Основные формулы

Первое, от чего нужно избавиться, - путаница между массой всего раствора и массой растворённого в нём вещества. Эти два числа обязаны жить в разных колонках таблицы.

Табличный метод

Для задач со смесями самый надёжный приём - таблица из четырёх колонок. Она не даёт забыть ни про массу раствора, ни про концентрацию, ни про массу чистого вещества. Схема такая:

Компонент	Масса раствора (кг)	Концентрация	Масса чистого вещества (кг)
Первый	$m_1$	$p_1 / 100$	$m_1 \cdot p_1 / 100$
Второй	$m_2$	$p_2 / 100$	$m_2 \cdot p_2 / 100$
Смесь	$m_1 + m_2$	$p_3 / 100$	$(m_1 + m_2) \cdot p_3 / 100$

Разбор типичных задач

Ниже три примера от простого до ЕГЭ-уровня. Последний решается методом крестов.

Пример 1. Нахождение числа по проценту

На городской олимпиаде призёрами стали $9$ школьников, что составило $7{,}5\%$ от всех участников. Сколько школьников участвовало в олимпиаде?

Пример 2. Испарение воды из раствора

Из $400$ г раствора соли с концентрацией $6\%$ выпарили $100$ г воды. Какой стала концентрация соли в оставшемся растворе? Ответ дай в процентах.

Пример 3. Сплавление двух сплавов методом крестов

Имеется два сплава серебра. Первый содержит $72\%$ серебра, второй - $60\%$ серебра. Их сплавили вместе и получили $48$ кг сплава с концентрацией $65\%$ серебра. Сколько килограммов первого сплава взяли?

Частые ошибки

Что запомнить

1. Всегда рисуй таблицу из четырёх колонок. Она устраняет $90\%$ ошибок по невнимательности.
2. Главное уравнение строится по закону сохранения чистого вещества: масса вещества 1 + масса вещества 2 = масса вещества в смеси.
3. При сливании растворов равной массы итоговая концентрация равна среднему арифметическому исходных концентраций.
4. Метод крестов - быстрый способ найти пропорцию масс, если концентрации всех трёх растворов известны.
5. В задачах на выпаривание масса чистого вещества сохраняется, меняется только масса воды.
6. Перечитай вопрос перед записью ответа: часто $x$ - не конечная величина, а промежуточный результат.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Смешали $200$ г $10\%$-го и $200$ г $30\%$-го растворов кислоты. Какова концентрация смеси?
   • $20\%$
   • $40\%$
   • $25\%$
   • $15\%$
2. Из $500$ г раствора соли с концентрацией $4\%$ выпарили $100$ г воды. Какая величина не изменилась?
   • масса соли
   • масса раствора
   • концентрация соли
   • масса воды
3. Смешали растворы с концентрациями $20\%$ и $50\%$ и получили $30\%$-й раствор. Как относятся массы первого и второго растворов $m_1 : m_2$?
   • $2 : 1$
   • $1 : 2$
   • $2 : 5$
   • $1 : 3$
4. Итоговая концентрация при сливании двух растворов всегда...
   • лежит строго между исходными концентрациями
   • равна сумме исходных концентраций
   • равна среднему арифметическому исходных концентраций
   • больше каждой из исходных концентраций

Проверить