Вписанные окружности и четырехугольники

Содержание

Вписанные окружности и четырёхугольники
Основные формулы и свойства
Алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Что запомнить
Стратегия на экзамене
За что дают баллы

Вписанные окружности и четырёхугольники

Задание 18 - это планиметрическая задача повышенного уровня. Тема «Вписанные окружности и четырёхугольники» встречается на ЕГЭ редко (в 2-3% вариантов), но именно её редкость делает её опасной: без ключевого критерия задача кажется нерешаемой.

Суть темы сводится к ситуациям, когда окружность лежит внутри четырёхугольника и касается всех четырёх его сторон. В таком случае четырёхугольник называется описанным около окружности (а окружность - вписанной в четырёхугольник).

Основные формулы и свойства

Для решения задач этого типа нужно уверенно владеть свойствами касательных, углов и знать критерий существования вписанной окружности.

Алгоритм решения

Задачи на эту тему почти всегда сводятся либо к методу касательных, либо к работе с биссектрисами и прямоугольными треугольниками у центра.

АЛГОРИТМ

Алгоритм работы с описанным четырёхугольником

Сделай крупный аккуратный чертёж. Сначала нарисуй окружность, затем проведи к ней четыре касательные так, чтобы они образовали выпуклый четырёхугольник. Отметь все четыре точки касания. Если рисовать в обратном порядке, окружность почти наверняка получится кривой.
Отметь радиусы в точки касания. Проведи четыре радиуса - они перпендикулярны соответствующим сторонам и часто становятся катетами прямоугольных треугольников.
Введи отрезки касательных. Обозначь отрезки касательных из вершин $A, B, C, D$ буквами $x, y, z, w$ . Стороны запишутся как $AB = x+y$ , $BC = y+z$ , $CD = z+w$ , $AD = w+x$ . Теорема Пито выполнится автоматически, а задача часто сводится к системе уравнений.
Соедини вершины с центром. Лучи $OA, OB, OC, OD$ - биссектрисы углов четырёхугольника. В парах соседних биссектрис полезно использовать факт: $\angle A/2 + \angle B/2 + \angle C/2 + \angle D/2 = 180^\circ$ .
Примени $S = pr$ . Если нужна площадь или радиус - сразу проверь, можно ли использовать эту формулу: она связывает три величины и часто закрывает вычисление одним действием.

Примеры решения

Разберём два примера. В первом - равнобокая описанная трапеция: применение теоремы Пито и базовой тригонометрии. Второй - на уровень реального ЕГЭ, с доказательством прямого угла и использованием соотношения в прямоугольном треугольнике.

Пример 1. Описанная равнобокая трапеция

Условие: В равнобокую трапецию $ABCD$ (с основаниями $BC$ и $AD$ ) вписана окружность. Периметр трапеции равен $40$ , а косинус острого угла при основании $AD$ равен $0{,}6$ .

а) Докажи, что высота трапеции равна её средней линии, умноженной на синус острого угла при основании.

б) Найди радиус вписанной окружности.

Пункт а: боковая сторона равна средней линии

По теореме Пито для описанного четырёхугольника сумма противоположных сторон равна: $AB + CD = BC + AD$ .
Трапеция равнобокая, поэтому $AB = CD$ . Обозначь $AB = CD = c$ . Тогда:

2c = BC + AD \implies c = \dfrac{BC + AD}{2}

Но $\dfrac{BC + AD}{2}$ - это в точности средняя линия трапеции $m$ . Значит, в равнобокой описанной трапеции боковая сторона равна средней линии: $c = m$ .

Пункт а: выражаем высоту через синус

Опусти из вершины $B$ перпендикуляр $BH$ на основание $AD$ . В прямоугольном треугольнике $ABH$ гипотенуза $AB = c$ , а катет $BH = h$ - высота трапеции. Тогда:

h = c \cdot \sin \alpha = m \cdot \sin \alpha

Равенство $h = m \cdot \sin \alpha$ доказано.

Пункт б: находим среднюю линию и синус

Периметр равен сумме всех четырёх сторон: $P = AB + BC + CD + AD = 2c + (BC + AD) = 2c + 2c = 4c$ .

4c = 40 \implies c = 10

Значит, средняя линия $m = 10$ .

Найди синус острого угла:

\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0{,}36} = 0{,}8

(Знак плюс, так как угол острый.)

Пункт б: вычисляем высоту и радиус

По доказанному в пункте «а»:

h = m \cdot \sin \alpha = 10 \cdot 0{,}8 = 8

В любую описанную трапецию вписанная окружность касается обоих оснований, поэтому её диаметр совпадает с высотой трапеции:

2r = h \implies r = \dfrac{h}{2} = 4

Ответ: б) $r = 4$ .

Пример 2. Описанная трапеция и прямой угол у центра

Условие: В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность с центром $O$ . Известно, что $BC \parallel AD$ , а сторона $AB$ касается окружности в точке $M$ .

а) Докажи, что $\angle AOB = 90^\circ$ .

б) Найди периметр четырёхугольника $ABCD$ , если $AM = 1$ , $BM = 9$ , и $ABCD$ - равнобокая трапеция.

Пункт а: биссектрисы у центра

Чертёж к условию: описанная трапеция с точкой касания M

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов четырёхугольника. Значит, луч $AO$ - биссектриса угла $DAB$ , а луч $BO$ - биссектриса угла $ABC$ :

\angle OAB = \dfrac{\angle DAB}{2}, \quad \angle OBA = \dfrac{\angle ABC}{2}

В трапеции $BC \parallel AD$ , а $AB$ - секущая. Значит, $\angle DAB$ и $\angle ABC$ - внутренние односторонние, их сумма равна $180^\circ$ :

\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ

Пункт а: доказываем прямой угол

Сложи углы биссектрис в треугольнике $AOB$ :

\angle OAB + \angle OBA = \dfrac{\angle DAB + \angle ABC}{2} = \dfrac{180^\circ}{2} = 90^\circ

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$ , поэтому:

\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ

Прямой угол у центра доказан.

Пункт б: высота из прямого угла и радиус

Чертёж к вычислению: высота в прямоугольном треугольнике AOB

Радиус $OM$ , проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне $AB$ : $OM \perp AB$ . В прямоугольном треугольнике $AOB$ (по доказанному в пункте «а» $\angle AOB = 90^\circ$ ) отрезок $OM$ - высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу.
Для высоты прямоугольного треугольника из прямого угла справедливо соотношение «высота равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу»:

OM^2 = AM \cdot BM = 1 \cdot 9 = 9 \implies OM = 3

Значит, радиус вписанной окружности $r = 3$ .

Пункт б: теорема Пито и периметр

Длина стороны $AB$ равна сумме отрезков касательных из $A$ и $B$ :

AB = AM + BM = 1 + 9 = 10

Трапеция равнобокая, поэтому $CD = AB = 10$ . По теореме Пито:

AD + BC = AB + CD = 10 + 10 = 20

Периметр трапеции:

P = AB + BC + CD + AD = 10 + 10 + 20 = 40

Ответ: б) $P = 40$ .

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница между вписанным и описанным четырёхугольником

Ошибка: Применять теорему Пито ( $AB + CD = BC + AD$ ) к четырёхугольнику, который вписан в окружность (то есть все его вершины лежат на окружности).

Правильно: Теорема Пито работает только тогда, когда окружность вписана в четырёхугольник (касается всех четырёх сторон). Для четырёхугольника, вписанного в окружность, другое правило: сумма противоположных углов равна $180^\circ$ :

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ

Ключевое слово в условии: «вписана окружность» (значит, в четырёхугольник) vs «вписан четырёхугольник» (значит, в окружность).

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Центр вписанной окружности - не точка пересечения диагоналей

Ошибка: Считать, что центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей четырёхугольника.

Правильно: Центр вписанной окружности - это точка пересечения биссектрис углов. С пересечением диагоналей он совпадает только у ромба и квадрата, потому что там диагонали сами являются биссектрисами углов. В произвольной описанной трапеции или описанном дельтоиде центр лежит вообще не на пересечении диагоналей.

Что запомнить

Окружность вписана в четырёхугольник $\iff$ $AB + CD = BC + AD$ (теорема Пито).
Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис всех четырёх углов.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне. Площадь $S = p \cdot r$ .
Отрезки касательных из одной вершины равны. Параметризация $x, y, z, w$ сводит задачу к системе уравнений.
Если в условии « $BC \parallel AD$ » и вписана окружность - вспомни про $\angle AOB = \angle DOC = 90^\circ$ (биссектрисы односторонних углов).
В равнобокой описанной трапеции боковая сторона равна средней линии, а диаметр вписанной окружности равен высоте.

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 18

Время выполнения: 25-35 минут.
Очерёдность: Оставь планиметрию на вторую половину экзамена, после уравнения (14), неравенства (16) и прикладной задачи (17). Если в условии видишь слово «вписана окружность» и четырёхугольник - сразу записывай теорему Пито, даже не вчитавшись до конца.
Хитрость оценивания: Пункты «а» и «б» оцениваются независимо. Если не получается доказать пункт «а», прими его на веру и используй для вычислений в «б» - за правильный ответ с опорой на недоказанное утверждение всё равно дают 1 балл.
Быстрая проверка ответа: Если нашёл радиус или площадь, проверь себя формулой $S = p \cdot r$ . Полупериметр описанного четырёхугольника равен сумме двух противоположных сторон - это считается в одно действие.
Когда стоит пропустить: Если спустя 10 минут чертёж стал неряшливым, а связи между углами и сторонами не видны - переходи к заданию 19 (параметры) или 20 (теория чисел). Вернёшься к 18-му, если останется время.

За что дают баллы

В задании 18 можно заработать от 0 до 3 первичных баллов:

3 балла (максимум): Пункт «а» доказан со всеми обоснованиями, пункт «б» решён верно и с опорой на доказанное. Нет логических пробелов, ответ совпадает с эталоном.
2 балла: Пункт «а» доказан полностью, пункт «б» решён по верной логике, но в вычислениях допущена арифметическая ошибка (например, $2 \cdot 3 = 5$ ). ИЛИ пункт «б» решён безупречно и обоснованно, но пункт «а» не решён.
1 балл: Полностью и верно доказан только пункт «а». ИЛИ пункт «а» не тронут, но пункт «б» решён верно с явной ссылкой на недоказанное утверждение из пункта «а» (так делать можно и нужно, если застрял).
0 баллов: Решение не содержит верных математических продвижений. Голый ответ в пункте «б» без обоснований и вычислений тоже оценивается в 0 баллов - даже если ответ случайно совпал с правильным.

Проверь себя

В выпуклый четырёхугольник $ABCD$ можно вписать окружность. Какое равенство обязательно выполняется?
Периметр описанного четырёхугольника равен $36$ , радиус вписанной окружности равен $4$ . Чему равна площадь четырёхугольника?
В равнобокую трапецию вписана окружность. Чему равна её боковая сторона?
В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ вписана окружность с центром $O$ . Чему равен угол $AOB$ ?