Задание 7 проверяет базовые навыки решения уравнений. Дробно-рациональные уравнения встречаются в этом номере довольно редко (гораздо чаще попадаются показательные, логарифмические или иррациональные), но они встречаются на экзамене.
Суть рационального уравнения заключается в том, что неизвестная переменная x находится в знаменателе дроби. Главное правило при работе с такими уравнениями - помнить о том, что на ноль делить нельзя.
Основные формулы и правила
Чтобы решить дробно-рациональное уравнение, нужно избавиться от знаменателя. Для этого используются три базовых конструкции.
Алгоритм решения
Независимо от внешнего вида уравнения, последовательность действий всегда одна.
Примеры решения
Разберём задачи от самых простых к чуть более хитрым. Обрати внимание на оформление расчётов.
Пример 1. Классическая экзаменационная задача
Найдите корень уравнения 2x−71=5.
Записываем ОДЗ
Знаменатель не может быть равен нулю:
2x−7=0⟹2x=7⟹x=3,5.
Избавляемся от знаменателя
Представь число 5 как дробь 15. Получается пропорция:
2x−71=15
Умножь крест-накрест:
1⋅1=5⋅(2x−7)
Решаем линейное уравнение
Раскрой скобки:
1=10x−35
Перенеси −35 в левую часть с противоположным знаком:
1+35=10x
36=10x
x=3,6
Проверка
Корень x=3,6 не равен запрещённому значению 3,5. Подстановка в исходное уравнение: 2⋅3,6−71=7,2−71=0,21=5. Верно.
Пример 2. Пропорция с переменной в обеих частях
Найдите корень уравнения x+2x−4=−3.
Записываем ограничение
x+2=0⟹x=−2.
Составляем пропорцию
Представь −3 как 1−3.
x+2x−4=1−3
Перемножь накрест. Обязательно бери выражения с x в скобки!
1⋅(x−4)=−3⋅(x+2)
Решаем уравнение
x−4=−3x−6
Перенеси все слагаемые с x влево, а числа - вправо:
x+3x=−6+4
4x=−2
x=−42=−0,5
Проверка
Значение −0,5=−2. Ограничение выполнено.
Пример 3. Дробь равна нулю (посторонний корень)
Найдите корень уравнения x−5x2−7x+10=0. Если корней несколько, в ответ запишите наименьший из них.
Реши квадратное уравнение из первой строки. По теореме Виета сумма корней равна 7, а произведение равно 10.
Подходят числа x1=5 и x2=2.
Отбираем корни
Проверь условие из второй строки:
x=5.
Корень x1=5 обращает знаменатель в ноль, значит, он является посторонним и не подходит. Остаётся только один корень: x=2.
Указание «запишите наименьший корень» дано специально, чтобы поймать тех, кто забыл про знаменатель и попытался бы записать в ответ число 2 просто потому, что оно меньше 5. В данном случае 2 - вообще единственный корень.
Замена переменной
Иногда дробное уравнение приходит в «симметричном» виде: одно и то же выражение встречается и отдельно, и в знаменателе. Типичные конструкции - x+x1, (x−1)+x−14 или x+1x+xx+1. Такое уравнение превращается в квадратное одним приёмом - заменой переменной.
Пример 4. Замена переменной
Найди наибольший корень уравнения (x−1)+x−14=5.
Записываем ОДЗ
x−1=0⟹x=1.
Вводим замену
Введи t=x−1. Тогда x−14=t4, и уравнение принимает вид:
t+t4=5.
Избавляемся от дроби
Умножь обе части на t (при t=0):
t2+4=5t⟹t2−5t+4=0.
По теореме Виета: t1=1, t2=4.
Возвращаемся к x
Вспомни, что t=x−1:
t1=1⟹x−1=1⟹x=2;
t2=4⟹x−1=4⟹x=5.
Проверка и отбор корня
Оба корня удовлетворяют ОДЗ (x=1). Условие требует наибольший: это 5.
Частые ошибки
Что запомнить
Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1 (например, 7=17). Это позволяет применять основное свойство пропорции к любым уравнениям.
Главная опасность рациональных уравнений - деление на ноль. Выписывать ОДЗ отдельной строкой в первой части не обязательно, но держать в голове проверку знаменателя - жизненно необходимо.
Проверь себя
Дробь BA равна нулю тогда и только тогда, когда...
