Задание 17 - первая задача второй части и первая, где мало назвать число: решение надо записать и обосновать. Декорации производственные: цех, завод, склад. Дана связь между деньгами и одной управляемой величиной (выпуском, ценой, размером партии), и спрашивают, при каком её значении прибыль наибольшая или расходы наименьшие. Аппарат знаком по девятому номеру: производная и вершина параболы. Новое - обёртка: функцию надо собрать самому, границы её смысла очертить самому, а в конце вернуться из математики в цех и в рубли.
Три модели, три вопроса
Сюжетов много, а функций по сути три. Различай их по вопросу, а не по декорациям.
Зазор между прямой выручки и параболой затрат шире всего там, где касательная к затратам параллельна прямой выручки, то есть где C′(x)=p. Это и есть условие P′(x)=0: пока очередная единица обходится дешевле, чем продаётся, выпуск выгодно наращивать.
Где функция имеет смысл
Границы выписывай ДО дифференцирования: они решают, годится ли найденный корень и не лежит ли ответ на конце отрезка.
Как обосновать экстремум
Корень производной - ещё не ответ, а кандидат. Проверяющий ждёт довода, почему в этой точке максимум.
Минимум суммы «растёт плюс падает»
Функции S(x)=ax+b+xc и F(x)=xA+Bx устроены одинаково, и разбор знаков у них общий:
(ax+xc)′=a−x2c=x2ax2−c
При x>0 знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком ax2−c: слева от x0=ac минус, справа плюс - обоснование минимума в одну строку. Заодно видно, что в этой точке слагаемые равны между собой: быстрая прикидка ответа до всякого дифференцирования.
Так же считают склад: потребность 10000 тонн в год, поставка стоит 20 тысяч рублей, хранение - 10 тысяч за тонну в год, средний запас равен половине партии. Тогда F(x)=x200000+5x и минимум при x=200 тоннах.
Примеры решения
Пример 1. Наибольшая прибыль при квадратичных затратах
Условие:
Мебельная мастерская выпускает x кухонных гарнитуров в месяц, мощность цеха ограничена: 0⩽x⩽25. Затраты равны C(x)=3x2+20x+200 тысяч рублей, каждый гарнитур продаётся за 140 тысяч рублей. При каком месячном выпуске прибыль мастерской будет наибольшей?
Составляем функцию прибыли
Выручка от x гарнитуров равна 140x тысяч рублей, прибыль - разность выручки и затрат:
P(x)=140x−(3x2+20x+200)=−3x2+120x−200
По условию x∈[0;25].
Ищем точку максимума
P′(x)=−6x+120,P′(x)=0⟺x=20
На [0;20) производная положительна, на (20;25] отрицательна: функция возрастает, затем убывает. Значит, x=20 - точка максимума, и она принадлежит допустимому промежутку. Тот же вывод даёт парабола: старший коэффициент −3<0, вершина x=−2⋅(−3)120=20.
Считаем прибыль и истолковываем
P(20)=−1200+2400−200=1000
Соседние выпуски дают меньше: P(19)=P(21)=997.
Ответ: наибольшая прибыль - при выпуске 20 гарнитуров в месяц, она составит 1000 тысяч рублей.
Пример 2. Наименьшая себестоимость
Условие:
Небольшой завод выпускает x тонн краски в сутки, x>0. Суточные затраты завода равны C(x)=5x2+40x+720 тысяч рублей. Себестоимостью тонны называют отношение суточных затрат к массе выпущенной за сутки краски. Найдите наименьшую себестоимость тонны.
Составляем функцию себестоимости
S(x)=x5x2+40x+720=5x+40+x720,x>0
Исследуем на минимум
S′(x)=5−x2720=x25(x2−144)
При x>0 знаменатель положителен, поэтому знак S′ совпадает со знаком x2−144: производная отрицательна при 0<x<12 и положительна при x>12. Функция убывает, затем возрастает - значит, x=12 точка минимума, и она лежит в допустимой области.
Считаем и проверяем
S(12)=60+40+60=160
Проверка предельными затратами: C′(x)=10x+40, и C′(12)=160 - совпало с S(12). Для сравнения: S(10)=162, S(15)=163.
Ответ: наименьшая себестоимость - 160 тысяч рублей за тонну, она достигается при суточном выпуске 12 тонн.
Пример 3. Цена, спрос и прибыль
Условие:
Магазин продаёт велосипеды по цене 20 тысяч рублей и продаёт 40 штук в месяц. Маркетологи выяснили: снижение цены на каждую тысячу рублей добавляет 10 покупателей в месяц. Закупочная цена велосипеда - 12 тысяч рублей. При какой цене месячная прибыль магазина будет наибольшей?
Выражаем спрос через цену
Пусть x - цена в тысячах рублей. При цене 20 покупателей 40, и каждая тысяча снижения добавляет 10 человек:
q(x)=40+10(20−x)=240−10x
Прибыль с одного велосипеда равна x−12 тысяч рублей, поэтому
P(x)=(x−12)(240−10x)=−10x2+360x−2880
Выписываем допустимые цены
Спрос неотрицателен: 240−10x⩾0, то есть x⩽24. Продавать дешевле закупочной цены бессмысленно: x⩾12. Итак, x∈[12;24].
Находим максимум
P′(x)=−20x+360,P′(x)=0⟺x=18
На [12;18) производная положительна, на (18;24] отрицательна, значит x=18 - точка максимума, и она попадает в допустимый отрезок.
Досчитываем
P(18)=6⋅60=360,q(18)=60
Для сравнения: P(17)=P(19)=350.
Ответ: прибыль наибольшая при цене 18 тысяч рублей; магазин продаст 60 велосипедов и заработает 360 тысяч за месяц.
Пример 4. Когда вершина недостижима
Условие:
Цех по переработке овощей может переработать не более 6 тонн сырья в сутки. При переработке x тонн суточные затраты составляют C(x)=x2+10x+24 тысячи рублей, а выручка от переработки одной тонны сырья равна 30 тысячам рублей. При каком суточном объёме переработки прибыль цеха будет наибольшей?
Составляем функцию прибыли
P(x)=30x−(x2+10x+24)=−x2+20x−24,0⩽x⩽6
Находим кандидата
P′(x)=−2x+20,P′(x)=0⟺x=10
Точка x=10 не принадлежит отрезку [0;6], поэтому внутри отрезка экстремума нет.
Смотрим на монотонность
На всём отрезке x⩽6<10, поэтому P′(x)=−2x+20>0: прибыль возрастает. Наибольшее значение возрастающая функция принимает на правом конце, при x=6.
P(6)=−36+120−24=60
Истолковываем
Вершина x=10 - объём, до которого цеху не хватает мощности; ответ здесь определяет ограничение, а не производная.
Ответ: прибыль наибольшая при полной загрузке - 6 тонн в сутки, прибыль составит 60 тысяч рублей в сутки.
