Расстояние между прямыми и плоскостями

Доказываем параллельность (пункт а)

1. Прямые $B_1C_1$ и $BC$ параллельны как соответственные рёбра оснований правильной призмы.
2. Прямая $BC$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ (по условию $\alpha$ проходит через $BC$).
3. Так как прямая $B_1C_1$ параллельна прямой $BC$, лежащей в плоскости $\alpha$, и сама прямая $B_1C_1$ не лежит в $\alpha$, то по признаку параллельности прямой и плоскости $B_1C_1 \parallel \alpha$. Ч.т.д.

Строим перпендикулярную плоскость (пункт б)

1. Так как $B_1C_1 \parallel \alpha$, расстояние от любой точки прямой $B_1C_1$ до плоскости $\alpha$ одинаково. Выбери самую удобную точку - середину ребра $B_1C_1$. Пусть это будет точка $M_1$. Середину ребра $BC$ назови $M$.
2. В правильной призме треугольники оснований равносторонние. Медианы $AM$ и $A_1M_1$ также являются высотами. Значит, $AM \perp BC$ и $A_1M_1 \perp B_1C_1$.
3. Так как $BC \perp AM$ и $BC \perp MM_1$ (боковое ребро прямой призмы перпендикулярно основанию), то прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $AA_1M_1M$.
4. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $BC$, значит, плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $AA_1M_1M$. Плоскости пересекаются по прямой $A_1M$.
5. Проведи в прямоугольнике $AA_1M_1M$ перпендикуляр $M_1H$ к прямой $A_1M$. Так как плоскости взаимно перпендикулярны, $M_1H$ и будет искомым расстоянием от точки $M_1$ до плоскости $\alpha$.

Вычисляем стороны треугольника

1. Вычисли длины отрезков в прямоугольном треугольнике $A_1M_1M$:

   • $M_1M = AA_1 = 3$ (высота призмы).

   • $A_1M_1$ - высота равностороннего треугольника со стороной $a = 2\sqrt{3}$. $A_1M_1 = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 3$.

2. Треугольник $A_1M_1M$ оказался прямоугольным и равнобедренным ($A_1M_1 = M_1M = 3$). Гипотенуза $A_1M = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$.

Находим высоту к гипотенузе

Высота $M_1H$, проведённая к гипотенузе, равна:

Ответ: б) $1{,}5\sqrt{2}$.

Доказываем параллельность (пункт а)

1. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон треугольника $A_1B_1D_1$, следовательно, $MN$ - его средняя линия. Значит, $MN \parallel B_1D_1$.
2. В прямоугольном параллелепипеде диагонали противоположных оснований параллельны, то есть $B_1D_1 \parallel BD$.
3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $MN \parallel BD$.
4. Так как прямая $BD$ параллельна прямой $MN$, лежащей в плоскости $MNC$, и сама $BD$ не лежит в этой плоскости, то $BD \parallel MNC$. Ч.т.д.

Вводим координаты (пункт б)

1. Введём систему координат с началом в точке $A(0;\, 0;\, 0)$. Ось $X$ направим вдоль $AB$, ось $Y$ - вдоль $AD$, ось $Z$ - вдоль $AA_1$.

2. Выпишем координаты нужных точек:

   • $B(4;\, 0;\, 0)$
   • $D(0;\, 3;\, 0)$
   • $C(4;\, 3;\, 0)$

   • $A_1(0;\, 0;\, 6)$, $B_1(4;\, 0;\, 6)$, $D_1(0;\, 3;\, 6)$

   • $M$ - середина $A_1B_1$: $M(2;\, 0;\, 6)$

   • $N$ - середина $A_1D_1$: $N(0;\, 1{,}5;\, 6)$

Составляем уравнение плоскости

1. Составим уравнение плоскости $MNC$. Общий вид: $ax + by + cz + d = 0$. Подставим координаты точек $C, M, N$:

2. Приравняем левые части второго и третьего уравнений (так как оба равны $-d$):

Подставим $4a = 3b$ в первое уравнение:

3. Теперь выразим $c$ через $b$ из третьего уравнения:

Выразим $a$ через $b$: $a = \dfrac{3}{4}b = 0{,}75b$. 4. Чтобы избавиться от дробей, пусть $b = 4$. Тогда: $a = 3$, $c = 3$, $d = -24$. Уравнение плоскости $MNC$: $3x + 4y + 3z - 24 = 0$.

Вычисляем расстояние

1. Так как $BD \parallel MNC$ (доказано в пункте а), расстояние от прямой до плоскости равно расстоянию от любой точки прямой до плоскости. Возьмём точку $B(4;\, 0;\, 0)$.
2. Применим формулу расстояния от точки до плоскости:

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

Ответ: б) $\dfrac{6\sqrt{34}}{17}$.