Задание 6: Случайная величина

Содержание

О задании
Какие темы встречаются
Основные формулы
Общий алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Приёмы быстрого счёта
Стратегия на экзамене

О задании

Задание 6 - новичок в профильном ЕГЭ. В КИМ-2026 его не было: в 2027 году вариант вырос с 19 заданий до 20, а максимальный первичный балл - с 32 до 33. Задание 6 - одно из двух, добавленных в первую часть.

Оно закрывает вероятностный блок первой части. Задания 4 и 5 спрашивают «какова вероятность одного события», а задание 6 - уже про случайную величину целиком: чему она равна в среднем и насколько сильно разбросаны её значения.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 1 первичный балл.
Ориентировочное время: 8 минут.

ЗАМЕЧАНИЕ

Связь с другими заданиями

Задания 4 и 5 - фундамент: не умея находить вероятность отдельного события, таблицу распределения не заполнишь. Но вопрос в задании 6 другой. Там спрашивали «выпадет или нет», здесь - «сколько получится в среднем» и «насколько велик разброс». Вторая опора - описательная статистика: среднее, дисперсия и стандартное отклонение числового набора устроены точно так же, только там все значения входят с одинаковым весом, а здесь - каждое со своей вероятностью.

Какие темы встречаются

Требование спецификации распадается на шесть блоков; последний из них объединяет три непрерывных распределения.

Распределение случайной величины - таблица «значение / вероятность». Главная проверка: сумма вероятностей равна $1$ . Типичный вопрос - найти недостающую вероятность.
Математическое ожидание - средний результат в длинной серии: лотерея, страховка, игра с выигрышами.
Дисперсия и стандартное отклонение - мера разброса: какой из двух станков работает стабильнее.
Свойства ожидания и дисперсии - пересчёт при смене единиц или условий оплаты: рубли в копейки, оклад плюс сдельная надбавка.
Среднее число испытаний до успеха - «сколько бросков в среднем понадобится», «сколько раз придётся позвонить, пока не ответят». Спрашивают не вероятность, а число попыток; разобрано в конспекте «Среднее число испытаний до успеха».
Непрерывные распределения - равномерное (время ожидания автобуса), показательное (срок службы прибора) и нормальное (контроль качества, рост и масса).

ЗАМЕЧАНИЕ

Дискретная или непрерывная?

Дискретная величина принимает значения из конечного списка: число выигрышей, число заказов, количество бракованных деталей. Её распределение задают таблицей, и всё считается суммами. Непрерывная величина принимает любое значение из промежутка: время, масса, длина. Таблицы для неё не существует - вместо таблицы работают плотность $f(x)$ и функция распределения $F(x)$ . Первое, что нужно сделать в задании 6, - решить, с какой из двух ты имеешь дело: от этого зависит весь дальнейший путь.

Основные формулы

ВАЖНОЕ

Распределение дискретной случайной величины

Величина $X$ принимает значения $x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n$ с вероятностями $p_1,\ p_2,\ \ldots,\ p_n$ . Это записывают таблицей:

$x_i$	$x_1$	$x_2$	$\ldots$	$x_n$
$p_i$	$p_1$	$p_2$	$\ldots$	$p_n$

Ключевое свойство, из которого находят недостающую вероятность:

p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1

Столбчатая диаграмма распределения вероятностей

ВАЖНОЕ

Дисперсия и стандартное отклонение

Дисперсия - это среднее квадрата отклонения от среднего:

D(X) = (x_1 - E(X))^2p_1 + \ldots + (x_n - E(X))^2p_n

Рабочая формула короче - «среднее квадратов минус квадрат среднего»:

D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{D(X)}

Дисперсия измеряется в квадратах единиц, поэтому разброс чаще описывают через $\sigma$ : оно в тех же единицах, что и сама величина.

Математическое ожидание и разброс в одну сигму на числовой оси

Три непрерывных распределения спецификация называет, но в первой части каждое даёт задачу в одно действие: узнать распределение по словам условия и подставить числа в готовую формулу. Держи их на уровне узнавания, а подробные разборы с рисунками лежат в конспектах «Равномерное распределение», «Показательное распределение» и «Нормальное распределение».

ВАЖНОЕ

Непрерывные распределения: что нужно помнить

Равномерное на $[a;\, b]$ - время ожидания автобуса, приход в случайный момент. Вероятность равна доле длины:

P(c \leqslant X \leqslant d) = \dfrac{d - c}{b - a}, \qquad E(X) = \dfrac{a + b}{2}, \qquad D(X) = \dfrac{(b - a)^2}{12}

Показательное - срок службы прибора, время до отказа; задаётся одним параметром $\lambda > 0$ :

F(x) = P(X \leqslant x) = 1 - e^{-\lambda x}, \qquad E(X) = \dfrac{1}{\lambda}, \qquad D(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}

Нормальное - контроль качества, рост и масса; задаётся средним $a = E(X)$ и стандартным отклонением $\sigma$ , работает правило трёх сигм:

P(|X - a| < \sigma) \approx 0{,}68, \qquad P(|X - a| < 2\sigma) \approx 0{,}95, \qquad P(|X - a| < 3\sigma) \approx 0{,}997

График плотности равномерного распределения

Убывающая кривая плотности показательного распределения

Кривая нормального распределения и правило трёх сигм

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задания 6

Определи тип величины. Значений конечный список (таблица, перечень выигрышей, число деталей) - величина дискретная. Значение может быть любым числом из промежутка (время, масса, длина) - непрерывная; ищи в условии слова «равномерно», «показательное», «нормальное».
Выпиши распределение. Для дискретной величины - таблицу «значение / вероятность». Не забудь значение $0$ : в лотерее большинство билетов не выигрывает ничего, но они тоже участвуют в подсчёте.
Проверь сумму вероятностей. Она обязана равняться $1$ . Не сходится - значит потеряно значение или ошибка в арифметике.
Пойми, что именно спрашивают. Среднее - это $E(X)$ . Разброс - $D(X)$ или $\sigma$ . Вероятность попадания в промежуток - работа с распределением. Спрашивают, сколько попыток уйдёт в среднем до первого успеха, - это $\dfrac{1}{p}$ , и таблица не нужна.
Считай по формуле. Для дискретной величины это сумма произведений «значение на вероятность», для непрерывной - готовое свойство распределения.
Проверь правдоподобие. $E(X)$ лежит между наименьшим и наибольшим значениями, $D(X) \geqslant 0$ , вероятность - от $0$ до $1$ .

Примеры решения

Разберём четыре сюжета: прототип из демоверсии, работу с таблицей, свойства и непрерывный случай.

Пример 1. Лотерея - прототип из демоверсии

Организаторы лотереи выпустили $10\,000$ билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

Выигрыш (в рублях)	100	1000	5000	10 000	50 000
Число выигрышных билетов	500	100	50	10	1

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Пример 2. Таблица распределения: недостающая вероятность и разброс

Число заказов, которые курьер развозит за час, - случайная величина $X$ со следующим распределением.

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$p_i$	$0{,}1$	$0{,}3$	$?$	$0{,}2$

Найдите стандартное отклонение числа заказов.

Пример 3. Свойства ожидания и дисперсии

Мастер получает за смену фиксированные $1000$ рублей плюс $300$ рублей за каждую собранную деталь. Число деталей за смену - случайная величина $X$ , для которой $E(X) = 12$ , а стандартное отклонение равно $2$ . Найдите стандартное отклонение заработка мастера за смену.

Пример 4. Нормальное распределение

Масса пакета сахара - нормально распределённая случайная величина со средним $1000$ г и стандартным отклонением $5$ г. Найдите вероятность того, что случайно выбранный пакет окажется тяжелее $1010$ г.

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Дисперсия и стандартное отклонение перепутаны

Ошибка: Посчитать $D(X) = 0{,}81$ и записать это в бланк, хотя спрашивали стандартное отклонение. Или наоборот: в условии дано $\sigma = 2$ , а в формулу $D(aX + b) = a^2D(X)$ подставить двойку, забыв возвести её в квадрат. Правильно: $\sigma = \sqrt{D}$ и $D = \sigma^2$ - переход работает в обе стороны. Дисперсия живёт в квадратах единиц («рубль в квадрате» смысла не имеет), стандартное отклонение - в тех же единицах, что и сама величина.

Приёмы быстрого счёта

СОВЕТ

Как считать быстрее и меньше ошибаться

Считай в целых. В лотерейной задаче не переводи количества билетов в вероятности: сложи все выплаты и раздели на общее число билетов. Вся арифметика останется в целых числах.
Выноси общий множитель. Если все значения кратны $100$ , посчитай $E(X)$ для «сотен» и умножь результат на $100$ в самом конце.
Дисперсию считай через $E(X^2)$ . Формула $E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$ короче определения: не нужно вычитать среднее из каждого значения и возводить в квадрат четыре-пять разностей.
Проверяй сумму вероятностей до вычислений. Это одна строка, а ловит и потерянное значение, и опечатку при переписывании таблицы.
Если спрашивают $\sigma$ , корень обязан извлекаться точно. Ответ первой части - конечная десятичная дробь. Получилось под корнем $0{,}8$ или $2$ - ищи ошибку в $E(X)$ или в $E(X^2)$ , а не тянись к калькулятору.

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения

Время на задачу: по спецификации отводится $8$ минут, но подсчёт по готовой таблице обычно занимает $3$ - $4$ .
Очерёдность: решай сразу после заданий 4 и 5, пока голова настроена на вероятности.
Проверка среднего: $E(X)$ обязано лежать между наименьшим и наибольшим значениями величины. Вышло за границы - потеряно значение или ошибка в арифметике.
Проверка разброса: $D(X) \geqslant 0$ всегда. Отрицательная дисперсия означает, что в формуле $E(X^2) - (E(X))^2$ слагаемые переставлены местами.
Работай в долях: вероятности подставляются как $0{,}05$ , а не как $5\,\%$ . Смешивать проценты и доли в одной сумме нельзя.

Проверь себя

Величина $X$ принимает значения $0$ и $10$ с вероятностями $0{,}8$ и $0{,}2$ . Чему равно $E(X)$ ?
Известно, что $D(X) = 0{,}36$ . Чему равно стандартное отклонение?
Величина принимает значения $1$ , $2$ и $3$ с вероятностями $0{,}5$ , $p$ и $0{,}2$ . Чему равно $p$ ?
Как изменится дисперсия величины $X$ , если ко всем её значениям прибавить $7$ ?
Автобусы ходят строго каждые $10$ минут, пассажир приходит в случайный момент. Какова вероятность прождать не более $2$ минут?

Задание 6: Случайная величина

О задании

Какие темы встречаются

Основные формулы

Общий алгоритм решения

Примеры решения

Понимаем, что за величина

Находим вероятности

Считаем математическое ожидание

Находим недостающую вероятность

Считаем математическое ожидание

Считаем дисперсию и извлекаем корень

Записываем заработок через число деталей

Находим разброс

Переводим границу в сигмы

Применяем правило двух сигм

Делим пополам по симметрии

Частые ошибки

Приёмы быстрого счёта

Стратегия на экзамене