В задании 12 нужно работать с графиками функций: находить неизвестные коэффициенты и вычислять значения. На экзамене встречаются параболы, гиперболы, логарифмы и корни, но линейная функция - это самый простой и приятный тип задач в этом номере.
Задания на прямую составляют небольшую долю от общего числа задач, но встречаются и в чистом виде, и в комбинации с графиком другой функции (например, прямая плюс гипербола в задаче на пересечение).
Суть темы и основные формулы
Графиком линейной функции является прямая. Чтобы задать прямую, достаточно двух точек. В вариантах ЕГЭ эти точки уже заботливо выделены жирно - это узлы координатной сетки (точки с целыми координатами).
Коэффициент b проще: это ордината точки, в которой прямая пересекает ось Y.
Если прямая пересекает ось Y в узле решётки, просто считай значение с графика.
Если пересечение не в узле (или ось Y вообще не поместилась на рисунке), подставь координаты любой известной точки (x;y) и уже найденный k в уравнение y=kx+b и вырази b алгебраически.
Параллельные и перпендикулярные прямые
Иногда в условии задачи одна прямая задана графиком, а вторая - параметрически: «параллельна графику функции...» или «перпендикулярна ей». Два правила, которые закрывают эти случаи:
Если нужно составить уравнение прямой, параллельной данной и проходящей через точку M(x0;y0): бери тот же k, а b находи подстановкой координат M.
Для перпендикулярной прямой: k⊥=−k1. То есть «перевернуть и сменить знак».
Алгоритм решения
Примеры решения
Пример 1. Значение функции по графику
На рисунке изображён график функции вида f(x)=kx+b. Найди значение f(8).
Считаем точки
На графике выделены две точки: (−2;−1) и (2;5).
Ищем угловой коэффициент k
Достроим треугольник между этими точками.
Вертикальный катет: Δy=5−(−1)=6.
Горизонтальный катет: Δx=2−(−2)=4.
Прямая возрастает, значит k положительный:
k=46=1,5
Ищем свободный член b
Функция приняла вид f(x)=1,5x+b. Подставим координаты точки (2;5):
5=1,5⋅2+b⟹5=3+b⟹b=2
Уравнение функции: f(x)=1,5x+2.
(На графике прямая действительно пересекает ось Y в точке с ординатой 2 - можно было увидеть сразу.)
Отвечаем на вопрос
f(8)=1,5⋅8+2=12+2=14
Пример 2. Точка пересечения двух прямых
На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке A. Найди абсциссу точки A.
Уравнение первой прямой f(x) (возрастающей)
Проходит через (0;−3) и (2;1).
k1=2−01−(−3)=24=2
Прямая пересекает ось Y в точке −3, значит b1=−3.
Уравнение: f(x)=2x−3.
Уравнение второй прямой g(x) (убывающей)
Проходит через (−1;4) и (1;0).
k2=1−(−1)0−4=2−4=−2
Подставим (1;0) в y=−2x+b2:
0=−2⋅1+b2⟹b2=2
Уравнение: g(x)=−2x+2.
Ищем точку пересечения
В точке пересечения f(x)=g(x):
2x−3=−2x+2
4x=5⟹x=45=1,25
Спрашивают абсциссу (это x).
Пример 3. Параллельная прямая
Прямая y=kx+b параллельна прямой, изображённой на рисунке, и проходит через точку M(3;5). Найди f(−2).
Находим k для прямой на рисунке
Через узлы (−1;3) и (2;−3):
k=2−(−1)−3−3=3−6=−2
Записываем уравнение искомой прямой
Параллельные прямые имеют одинаковый k, значит угловой коэффициент искомой прямой тоже −2. Запишем:
f(x)=−2x+b
Осталось найти b. Подставим координаты точки M(3;5):
5=−2⋅3+b⟹5=−6+b⟹b=11
Уравнение: f(x)=−2x+11.
Вычисляем значение
f(−2)=−2⋅(−2)+11=4+11=15
Частые ошибки
Что запомнить
Уравнение прямой: y=kx+b.
Угловой коэффициент: k=ΔxΔy - вертикальный катет делить на горизонтальный.
Возрастает ⟹k>0; убывает ⟹k<0.
Свободный член b - ордината точки пересечения с осью Y.
