Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

Содержание

Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным
Основные формулы
Алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Что запомнить
Стратегия на экзамене
За что дают баллы

Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

Задание 14 - это твой главный источник баллов во второй части ЕГЭ. Тригонометрические уравнения, которые сводятся к квадратным, встречаются здесь очень часто. Внешне они могут выглядеть пугающе из-за разных функций или двойных углов, но на деле решаются по одному и тому же простому шаблону.

Суть метода такая: с помощью формул приводишь уравнение к одной функции (только синусу или только косинусу) с одинаковым аргументом, а затем делаешь замену переменной и решаешь обычное квадратное уравнение. После обратной замены остаётся простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin x = a$ или $\cos x = a$ - с ним ты уже умеешь работать.

Основные формулы

Чтобы свести уравнение к квадратному, тебе понадобится всего пара базовых формул. Учить десятки тождеств для этого типа задач не нужно.

Выбор формы зависит от того, какая ещё функция есть в уравнении: если рядом стоит $\sin x$ , бери запись через $\sin^2 x$ ; если $\cos x$ - через $\cos^2 x$ .

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать уравнение сведением к квадратному

Упрости аргументы. Если есть отрицательные углы (например, $-x$ ), избавься от минуса по правилам чётности и нечётности.
Приведи к одной функции. Используй формулы выше, чтобы в уравнении остался только $\sin x$ или только $\cos x$ .
Сделай замену. Пусть $t = \sin x$ или $t = \cos x$ . Обязательно укажи ограничение $|t| \leqslant 1$ , так как синус и косинус не могут быть больше $1$ или меньше $-1$ .
Реши квадратное уравнение. Найди корни $t_1$ и $t_2$ . Сразу отбрось те, которые не подходят под ограничение.
Сделай обратную замену. Реши простейшие уравнения вида $\sin x = t$ или $\cos x = t$ . Запиши ответ для пункта «а».
Отбери корни для пункта «б». Используй один из двух методов: либо нарисуй тригонометрическую окружность и отметь дугу отрезка, либо составь двойное неравенство $\alpha \leqslant x \leqslant \beta$ для каждой серии и найди целые значения параметра.

Почему у $\sin x = t$ всегда две серии -- на окружности:

Примеры решения

Ниже две типичные задачи в стиле реального ЕГЭ. Первая - на основное тождество и отрицательные углы с отбором по окружности, вторая - на двойной угол с отбором двойным неравенством. Оба метода отбора работают одинаково хорошо - выбирай тот, что тебе удобнее.

Пример 1. Основное тождество и отрицательный угол

Условие: а) Решите уравнение

2\sin^2 x + 5\cos(-x) - 4 = 0

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi;\, 3\pi \right]$ .

Упрощаем аргумент

Избавимся от минуса в аргументе. Косинус - чётная функция, поэтому $\cos(-x) = \cos x$ .

2\sin^2 x + 5\cos x - 4 = 0

Приводим к одной функции

В уравнении есть $\sin^2 x$ и $\cos x$ . Приведём всё к косинусу, заменив $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$ :

2(1 - \cos^2 x) + 5\cos x - 4 = 0

2 - 2\cos^2 x + 5\cos x - 4 = 0

-2\cos^2 x + 5\cos x - 2 = 0

Умножим обе части на $-1$ , чтобы перед квадратом стоял плюс:

2\cos^2 x - 5\cos x + 2 = 0

Делаем замену и решаем квадратное уравнение

Сделаем замену $t = \cos x$ , где $t \in [-1;\, 1]$ .

2t^2 - 5t + 2 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9

t_{1} = \dfrac{5 + 3}{4} = 2

t_{2} = \dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{1}{2}

Корень $t_1 = 2$ не подходит, так как $2 > 1$ .

Обратная замена - решаем пункт а

Сделаем обратную замену для $t_2 = \dfrac{1}{2}$ :

\cos x = \dfrac{1}{2}

x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \ZZ

Отбираем корни для пункта б

Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[ \pi;\, 3\pi \right]$ , с помощью тригонометрической окружности. Длина отрезка равна $2\pi$ - это полный оборот, значит каждая из двух серий $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$ даст ровно одну точку на отрезке.

Найдём конкретные значения корней на отрезке $[\pi;\, 3\pi]$ :

Серия $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$ при $k = 1$ : $-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3}$ .
Серия $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$ при $k = 1$ : $\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{3}$ .

Оба числа попадают в отрезок $[\pi;\, 3\pi]$ : действительно, $\pi \leqslant \dfrac{5\pi}{3} \leqslant \dfrac{7\pi}{3} \leqslant 3\pi$ .

Ответ: а) $\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \ZZ$ ; б) $\dfrac{5\pi}{3};\, \dfrac{7\pi}{3}$ .

Пример 2. Использование двойного угла

Условие: а) Решите уравнение

\cos 2x - 5\sin x - 3 = 0

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi;\, -\dfrac{3\pi}{2} \right]$ .

Приводим к одной функции

В уравнении есть $\cos 2x$ и $\sin x$ . Нужно оставить только синус. Применим формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ :

(1 - 2\sin^2 x) - 5\sin x - 3 = 0

-2\sin^2 x - 5\sin x - 2 = 0

Умножим на $-1$ :

2\sin^2 x + 5\sin x + 2 = 0

Делаем замену и решаем квадратное уравнение

Сделаем замену $t = \sin x$ , где $t \in [-1;\, 1]$ .

2t^2 + 5t + 2 = 0

Найдём дискриминант и корни:

D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9

t_1 = \dfrac{-5 - 3}{4} = -2

t_2 = \dfrac{-5 + 3}{4} = -\dfrac{1}{2}

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t \in [-1;\, 1]$ , отбрасываем.

Обратная замена - решаем пункт а

Обратная замена для $t_2 = -\dfrac{1}{2}$ :

\sin x = -\dfrac{1}{2}

Получаем две серии решений:

x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \ZZ

x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \ZZ

Отбираем корни для пункта б

Отберём корни на отрезке $\left[ -3\pi;\, -\dfrac{3\pi}{2} \right]$ методом двойного неравенства. Длина отрезка равна $\dfrac{3\pi}{2}$ - это три четверти окружности, поэтому каждую серию проверим отдельно.

Серия 1: $-3\pi \leqslant -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n \leqslant -\dfrac{3\pi}{2}$ . Разделим всё на $\pi$ и прибавим $\dfrac{1}{6}$ ко всем частям:

-3 + \dfrac{1}{6} \leqslant 2n \leqslant -\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{6}

-\dfrac{17}{6} \leqslant 2n \leqslant -\dfrac{8}{6}

-\dfrac{17}{12} \leqslant n \leqslant -\dfrac{2}{3}

Подходит единственное целое: $n = -1$ . Получаем $x = -\dfrac{\pi}{6} - 2\pi = -\dfrac{13\pi}{6}$ .

Серия 2: $-3\pi \leqslant -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \leqslant -\dfrac{3\pi}{2}$ . Аналогично получаем:

-\dfrac{13}{12} \leqslant k \leqslant -\dfrac{1}{3}

Подходит единственное целое: $k = -1$ . Получаем $x = -\dfrac{5\pi}{6} - 2\pi = -\dfrac{17\pi}{6}$ .

Для наглядности покажем отбор и на окружности.

Ответ: а) $-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n;\, -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad n,\, k \in \ZZ$ ; б) $-\dfrac{17\pi}{6};\, -\dfrac{13\pi}{6}$ .

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря ограничения

|t| \leqslant 1

Ошибка: Получить корни квадратного уравнения $t_1 = -2$ и $t_2 = -\dfrac{1}{2}$ и записать $\sin x = -2$ , а затем $x = \arcsin(-2) + 2\pi k$ . Правильно: Синус и косинус принимают значения только от $-1$ до $1$ . Уравнение $\sin x = -2$ не имеет решений. Корень $t_1 = -2$ просто отбрасывается с пояснением «не подходит по условию $|t| \leqslant 1$ », и дальше работаешь только с $t_2$ . Пропуск этой проверки - одна из самых частых ошибок в задании 14.

Что запомнить

Смесь $\sin^2 x$ и $\cos x$ (или наоборот) - используй основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ .
Смесь $\cos 2x$ и функции без двойного угла - применяй формулу двойного угла так, чтобы осталась одна функция.
Всегда указывай ограничение $|t| \leqslant 1$ при замене и проверяй оба корня квадратного уравнения на принадлежность отрезку $[-1;\, 1]$ .
При отборе корней по окружности в пункте «б» выделяй дугу, подписывай её концы и показывай вычисление каждой точки. При отборе двойным неравенством - явно записывай цепочку преобразований и перечисляй подходящие целые значения параметра.

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения

Время выполнения: 15-20 минут.
Очерёдность: Решай это задание первым из второй части. Это самый предсказуемый и стандартизированный номер.
Проверка: После получения ответа в пункте «а» возьми $k=0$ и подставь корень в исходное уравнение. Сошлось? Значит, первая часть решена верно.
Выбор метода отбора: Окружность наглядна на коротких отрезках ( $\leqslant 2\pi$ ), но на длинных отрезках или при нескольких сериях удобнее двойное неравенство - меньше шансов пропустить корень.
Оформление пункта «б»: Если отбираешь по окружности - выдели штриховкой дугу, отметь её концы (числами из условия) и покажи вычисление каждой точки (например, $x = 2\pi - \pi/3 = 5\pi/3$ ). Если отбираешь неравенством - запиши цепочку преобразований и перечисли подходящие целые значения. За ответ без обоснования отбора балл не дадут.

За что дают баллы

В задании 14 можно получить от 0 до 2 первичных баллов.

2 балла: Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. Переход к квадратному уравнению описан (замена, ограничение, отбор корня $t$ ), обратная замена выполнена, отбор корней показан явно (окружность или двойное неравенство).
1 балл: Возможны две ситуации:
1. Пункт «а» решён полностью верно, но в пункте «б» допущена ошибка в отборе или отбор не обоснован (написан только ответ без рисунка и без неравенства).
2. Допущена ровно одна вычислительная ошибка (например, ошибка в арифметике при нахождении корня квадратного уравнения), но с этим неверным числом логика обоих пунктов безупречна, и отбор корней выполнен корректно уже для ошибочных значений.
0 баллов: Ошибка в тригонометрической формуле, неверное табличное значение синуса или косинуса, потерянное ограничение $|t| \leqslant 1$ , грубая алгебраическая ошибка или записан только правильный ответ без решения.

Проверь себя

Уравнение $2\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0$ нужно свести к одной функции. Какую подстановку применить?
После замены $t = \cos x$ получены корни $t_1 = 3$ и $t_2 = \dfrac{1}{2}$ . Что делать с корнем $t_1 = 3$ ?
Чему равно $\sin(-x)$ ?
В уравнении есть $\cos 2x$ и $\sin x$ . Какая формула двойного угла оставит только синус?