В задании 6 редко просят посчитать E(X) и D(X) «с нуля» по таблице. Гораздо чаще известная величина превращается в новую: минуты - в рубли, граммы - в килограммы, число заказов - в зарплату, два независимых слагаемых - в их сумму. Пересчитывать таблицу распределения при этом не нужно. У ожидания и дисперсии есть свойства, которые дают ответ в одну-две строки, и вся тема - это умение узнать, какое из них здесь работает.
Линейное преобразование
Из последней фразы всё и следует. Раз вероятности не изменились, таблицу распределения переписывать не надо - достаточно трёх готовых равенств.
Сумма и разность величин
Повторы одной величины
Как выбрать формулу
Примеры решения
Пример 1. Оклад плюс сдельная часть
Условие:
Тренер получает за месяц фиксированные 24000 рублей и ещё 900 рублей за каждое проведённое занятие. Число занятий за месяц - случайная величина X, причём E(X)=46. Найдите математическое ожидание месячного заработка тренера.
Записываем заработок через число занятий
Заработок - новая случайная величина, выраженная через старую линейно:
Y=900X+24000
Применяем свойство ожидания
E(Y)=900⋅E(X)+24000=900⋅46+24000
E(Y)=41400+24000=65400
Таблица распределения числа занятий не понадобилась - её и не давали.
Ответ: 65400
Пример 2. Смена единиц измерения
Условие:
Датчик записывает температуру в градусах Цельсия; стандартное отклонение его показаний равно 2,5 градуса. Показания пересчитывают в градусы Фаренгейта по формуле F=1,8C+32. Найдите стандартное отклонение показаний в градусах Фаренгейта.
Узнаём линейную замену
Здесь a=1,8, b=32, σ(C)=2,5.
Считаем через дисперсию
D(C)=σ2(C)=2,52=6,25
D(F)=1,82⋅D(C)=3,24⋅6,25=20,25
σ(F)=20,25=4,5
Тот же ответ короче
σ(F)=∣1,8∣⋅σ(C)=1,8⋅2,5=4,5
Слагаемое 32 не участвует: сдвиг шкалы разброс не меняет.
Ответ: 4,5
Пример 3. Сумма независимых величин
Условие:
Время доставки складывается из времени комплектации на складе и времени в пути; эти два времени независимы. Стандартное отклонение времени комплектации равно 6 минутам, времени в пути - 8 минутам. Найдите стандартное отклонение общего времени доставки.
Переходим от отклонений к дисперсиям
D(X)=62=36,D(Y)=82=64
Складываем дисперсии
Величины независимы, поэтому дисперсия суммы равна сумме дисперсий:
D(X+Y)=36+64=100
Возвращаемся к отклонению
σ(X+Y)=100=10
Заметь: 6+8=14 - это не ответ. Отклонения складываются «как катеты»: 62+82=10.
Ответ: 10
Пример 4. Разность независимых величин
Условие:
Диаметр отверстия и диаметр вала - независимые случайные величины с дисперсиями 0,16 и 0,09 (в квадратных миллиметрах). Зазор - это разность диаметров. Найдите стандартное отклонение зазора в миллиметрах.
Записываем зазор
Z=X−Y
где X - диаметр отверстия, Y - диаметр вала.
Складываем дисперсии, несмотря на минус
D(Z)=D(X)+D(Y)=0,16+0,09=0,25
Минус в записи величины на дисперсию не влияет: D(−Y)=(−1)2D(Y)=D(Y).
Извлекаем корень
σ(Z)=0,25=0,5
Ответ: 0,5
Пример 5. Среднее нескольких измерений
Условие:
Одно взвешивание пробы даёт результат со стандартным отклонением 15 мг. Лаборант независимо взвешивает пробу 25 раз и берёт среднее арифметическое. Найдите стандартное отклонение этого среднего в миллиграммах.
Записываем среднее
X=25X1+X2+…+X25
Считаем дисперсию суммы
D(X)=152=225,D(X1+…+X25)=25⋅225=5625
Делим и извлекаем корень
Деление на 25 - это множитель a=251, а он входит в дисперсию в квадрате:
D(X)=2525625=6255625=9,σ(X)=9=3
Короткий путь тот же: σ(X)=2515=515=3.
Ответ: 3
Частые ошибки
Проверь себя
Известно, что D(X)=5. Чему равно D(3X+7)?
Известно, что σ(X)=4. Чему равно σ(−2X+10)?
X и Y независимы, D(X)=9, D(Y)=16. Чему равно σ(X−Y)?
Одно измерение имеет стандартное отклонение 12. Каким будет отклонение среднего из 9 независимых измерений?
Что можно утверждать про E(X+Y), если про независимость X и Y ничего не сказано?
