Призма

Призма (Задание 3)

В задании 3 призма - один из главных «кирпичиков» стереометрии. Отдельных задач по ней в банке не так много, но формулы призмы и прямоугольного параллелепипеда нужны ещё и в комбинированных задачах: шар в призме, составной многогранник, отсечение части призмы плоскостью.

Хорошая новость: вся теория сводится к двум базовым формулам (объём и боковая поверхность) плюс умение находить площадь основания и, для параллелепипеда и куба, - длину диагонали.

Что такое призма

Призма - это многогранник, у которого два основания лежат в параллельных плоскостях и равны друг другу, а боковые грани являются параллелограммами. В школьном курсе почти всегда работают с прямой призмой: её боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а значит, боковые грани - прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед - частный случай прямой призмы: основание - прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, высота $c$. Куб - ещё более частный: $a = b = c$.

Основные формулы

Эти формулы - главный рабочий инструмент для любой задачи о призме.

Чтобы применять эти формулы, нужно быстро считать площадь основания. Чаще всего попадаются три типа:

Диагонали параллелепипеда и куба

Прямоугольный параллелепипед встречается в задании 3 регулярно - как отдельно, так и внутри задач на комбинированные тела. Особенно часто спрашивают его диагональ: отрезок, соединяющий две противоположные вершины и проходящий через всё тело.

Классический сюжет: отсечение по средней линии

Ещё один сюжет встречается в банке задач регулярно: через среднюю линию основания треугольной призмы проводят плоскость, параллельную боковому ребру. От исходной призмы отсекается маленькая треугольная призма с той же высотой $h$.

Что происходит при таком разрезе:

• стороны маленького треугольника $AMN$ ровно в $2$ раза короче соответствующих сторон $\triangle ABC$ (коэффициент подобия $k = \dfrac{1}{2}$);
• периметр $P_{\text{мал}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{бол}}$, значит, боковая поверхность делится на $2$;
• площадь $S_{\text{мал}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 S_{\text{бол}} = \dfrac{1}{4} S_{\text{бол}}$, значит, объём делится на $4$.

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём три задачи, покрывающие основные сюжеты темы: диагональ, правильная призма и отсечение по средней линии.

Пример 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда

Условие: Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны $2$, $3$ и $6$. Найди диагональ параллелепипеда.

Решение:

1. Применяй формулу диагонали прямоугольного параллелепипеда:

$$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

2. Подставляй $a = 2$, $b = 3$, $c = 6$:

$$d = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$$

Ответ: $7$

Пример 2. Правильная шестиугольная призма

Условие: В правильной шестиугольной призме сторона основания равна $2$, а высота равна $5$. Найди площадь боковой поверхности призмы.

Пример 3. Отсечение по средней линии

Условие: Объём треугольной призмы равен $120$. Через среднюю линию основания этой призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найди объём оставшейся части призмы.

Частые ошибки

Что запомнить

• Объём любой призмы: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$. Боковая поверхность прямой призмы: $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$.
• Площади оснований: правильный треугольник - $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$, квадрат - $a^2$, правильный шестиугольник - $\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.
• Диагональ прямоугольного параллелепипеда: $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Диагональ куба: $d = a\sqrt{3}$.
• Средняя линия основания треугольной призмы: объём делится на $4$, боковая поверхность - на $2$.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$, $c$?
   • $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
   • $a+b+c$
   • $\sqrt{a^2+b^2}+c$
   • $abc$
2. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна
   • $S_{\text{осн}} \cdot h$
   • $P_{\text{осн}} \cdot h$
   • $P_{\text{осн}} \cdot h + 2S_{\text{осн}}$
   • $\dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot h$
3. Через среднюю линию основания треугольной призмы провели плоскость параллельно боковому ребру. Во сколько раз объём отсечённой призмы меньше объёма исходной?
   • в $2$ раза
   • в $4$ раза
   • в $8$ раз
   • в $3$ раза
4. Чему равна диагональ куба с ребром $a$?
   • $a\sqrt{2}$
   • $a\sqrt{3}$
   • $2a$
   • $3a$

Проверить