Задание 20: Числа и их свойства

Вводим обозначения

Пусть на доске записаны числа в порядке возрастания. Обозначим их буквами.

Пункт а: подбираем пример

Попробуем подобрать 5 чисел: $a < b < c < d < e$. Минимальное произведение: $a \cdot b \geqslant 41$. Максимальное произведение: $d \cdot e \leqslant 99$. Попробуем взять числа подряд. Если $b=7$, то $a$ может быть $6$. Проверим набор: $6, 7, 8, 9, 11$. Наименьшее произведение: $6 \cdot 7 = 42$ (больше 40). Наибольшее произведение: $9 \cdot 11 = 99$ (меньше 100). Условие выполняется. Ответ на пункт а: да, например, 6, 7, 8, 9, 11.

Пункт б: доказываем невозможность

Пусть чисел 6: $a < b < c < d < e < f$. Так как $a \cdot b \geqslant 41$ и числа натуральные различные, то $b$ не может быть меньше 7 (если $b \leqslant 6$, то $a \leqslant 5$, и $a \cdot b \leqslant 30$). Значит, $b \geqslant 7$. Тогда следующие числа: $c \geqslant 8$, $d \geqslant 9$, $e \geqslant 10$, $f \geqslant 11$. Проверим произведение двух наибольших: $e \cdot f \geqslant 10 \cdot 11 = 110$. Но по условию произведение любых двух должно быть меньше 100. Противоречие. Ответ на пункт б: нет.

Пункт в: оценка и пример

Пусть чисел 4: $a < b < c < d$. Нужно максимизировать сумму $a+b+c+d$. Наибольшее произведение: $c \cdot d \leqslant 99$. Чтобы сумма была максимальной, числа должны быть как можно больше. Рассмотрим число $c$. Если $c \geqslant 10$, то $d \geqslant 11$, и их произведение $c \cdot d \geqslant 110 > 100$. Значит, $c \leqslant 9$. Если $c = 9$, то максимально возможное $d = 11$ (так как $9 \cdot 11 = 99 \leqslant 99$, а $9 \cdot 12 = 108$). Тогда максимальные значения для остальных чисел (учитывая, что они различные): $b = 8$, $a = 7$. Проверим этот набор: $7, 8, 9, 11$. Минимальное произведение: $7 \cdot 8 = 56 > 40$. Максимальное произведение: $9 \cdot 11 = 99 < 100$. Набор подходит. Сумма равна $7 + 8 + 9 + 11 = 35$. Мы доказали, что числа не могут быть больше выбранных (оценка), и привели пример, когда сумма равна 35. Ответ на пункт в: 35.

Вводим обозначения

Пусть записаны числа $a_1 < a_2 < \dots < a_{11}$. Тогда $a_1 + \dots + a_6 = 6 \cdot 5 = 30$. И $a_6 + \dots + a_{11} = 6 \cdot 15 = 90$.

Пункт а: проверяем наименьшее число

Если наименьшее число $a_1 = 3$, то минимально возможная сумма шести первых чисел (так как они различные натуральные) равна: $3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33$. Но по условию их сумма равна 30. Противоречие. Ответ на пункт а: нет.

Пункт б: считаем сумму всех чисел

Сумма всех одиннадцати чисел равна: $\sum_{i=1}^{11} a_i = (a_1 + \dots + a_6) + (a_6 + \dots + a_{11}) - a_6 = 30 + 90 - a_6 = 120 - a_6$. Если среднее арифметическое всех 11 чисел равно 9, то их сумма должна быть $11 \cdot 9 = 99$. Получаем уравнение: $120 - a_6 = 99 \implies a_6 = 21$. Но мы знаем, что $a_1 + \dots + a_6 = 30$. Если одно только шестое число равно 21, то сумма первых пяти чисел равна $30 - 21 = 9$. Но минимальная сумма пяти различных натуральных чисел: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 > 9$. Противоречие. Ответ на пункт б: нет.

Пункт в: оценка минимального шестого числа

По условию $B = a_6$, а $S = \dfrac{120 - a_6}{11}$. Нужно найти максимум выражения $S - B$: $S - B = \dfrac{120 - a_6}{11} - a_6 = \dfrac{120 - 12a_6}{11}$. Чтобы дробь была максимальной, значение $a_6$ должно быть минимально возможным. Найдём минимальное $a_6$. Рассмотрим сумму первых шести: $a_1 + \dots + a_5 + a_6 = 30$. Числа различные, поэтому $a_1 \leqslant a_6 - 5$, $a_2 \leqslant a_6 - 4$ и так далее. Сумма первых пяти чисел не превышает: $(a_6 - 5) + (a_6 - 4) + (a_6 - 3) + (a_6 - 2) + (a_6 - 1) = 5a_6 - 15$. Значит, общая сумма шести чисел: $5a_6 - 15 + a_6 \geqslant 30 \implies 6a_6 \geqslant 45 \implies a_6 \geqslant 7{,}5$. Так как $a_6$ - натуральное число, минимально возможное значение $a_6 = 8$.

Пункт в: строим пример и вычисляем ответ

Проверим, достижимо ли $a_6 = 8$. Для первой шестёрки нужна сумма 30: $1, 3, 5, 6, 7, 8$ (сумма 30, $a_6 = 8$). Условие выполняется. Для второй шестёрки нужна сумма 90: $8, 9, 10, 11, 12, x$. $8 + 9 + 10 + 11 + 12 + x = 90 \implies 50 + x = 90 \implies x = 40$. Набор $1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 40$ удовлетворяет всем условиям. Значит, $a_6 = 8$ возможно. Вычисляем искомое значение: $S - B = \dfrac{120 - 12 \cdot 8}{11} = \dfrac{120 - 96}{11} = \dfrac{24}{11}$. Ответ на пункт в: $\dfrac{24}{11}$.