Расстояние между точками, от точки до прямой

Содержание

Расстояние между точками и от точки до прямой (Задание 15)
Расстояние между точками
Расстояние от точки до прямой
Алгоритм решения
Примеры решения задач
Частые ошибки
Стратегия на экзамене
За что дают баллы

Расстояние между точками и от точки до прямой (Задание 15)

В задании 15 встречаются два типа «расстояний», которые легко перепутать. Первое - расстояние между двумя точками в пространстве: длина отрезка, который их соединяет. Второе - расстояние от точки до прямой: длина перпендикуляра, опущенного на прямую. Оба сводятся к одному приёму - построению удобного прямоугольного треугольника и применению теоремы Пифагора.

Тема встречается примерно в 1 задаче из 50 на реальном ЕГЭ, но сценарий почти всегда один: цилиндр или призма, точки на разных основаниях, найти расстояние от одной точки до наклонной прямой. Главная идея: любое расстояние в пространстве - это длина стороны или высоты какого-то треугольника.

Расстояние между точками

Длина отрезка с концами в двух известных точках - это самое простое расстояние. Даже если точки лежат в разных гранях, формула одна.

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой в пространстве - это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. В трёхмерном пространстве провести этот перпендикуляр «на глаз» почти невозможно, поэтому задачу переводят в плоскую: строят треугольник и находят высоту.

ВАЖНОЕ

Метод площадей (Высота треугольника)

Если известны все три стороны треугольника, его площадь считают по формуле Герона:

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \qquad p = \dfrac{a+b+c}{2}

Поскольку $S = \dfrac{1}{2} a \cdot h_a$ , высота (то есть искомое расстояние) выражается как:

h_a = \dfrac{2S}{a}

Если треугольник прямоугольный с катетами $a$ , $b$ и гипотенузой $c$ , высоту к гипотенузе находят короткой формулой $h = \dfrac{a \cdot b}{c}$ .

Алгоритм решения

В 90% случаев задача сводится к построению вспомогательного треугольника и применению теоремы Пифагора в разных его гранях.

АЛГОРИТМ

Поиск расстояния от точки до прямой

Выдели точку и прямую. Пусть нужно найти расстояние от точки $P$ до прямой $AB$ .
Построй треугольник. Соедини точку $P$ с двумя удобными точками на прямой (обычно это $A$ и $B$ ). Получится треугольник $PAB$ .
Найди стороны. Вычисли длины $PA$ , $PB$ и $AB$ пространственной теоремой Пифагора - по очереди в разных гранях многогранника или в основании цилиндра.
Определи вид треугольника. Проверь, не является ли он прямоугольным или равнобедренным:
- равнобедренный - высота совпадает с медианой, ищется теоремой Пифагора;
- прямоугольный - высота к гипотенузе равна $h = \dfrac{a \cdot b}{c}$ (произведение катетов делить на гипотенузу).
Метод площадей. Если треугольник общего вида, посчитай его площадь по формуле Герона, а затем вырази высоту: $h = \dfrac{2S}{AB}$ . Это и есть искомое расстояние.
Альтернатива: координаты. Если фигура прямоугольная (куб, параллелепипед), введи систему координат и применяй формулу $d = \dfrac{|\vec{MP} \times \vec{l}|}{|\vec{l}|}$ - получишь тот же ответ механически.

Примеры решения задач

Разберём два примера от простого к сложному. Обрати внимание, как грамотно оформлять доказательство перпендикулярности.

Пример 1. Куб и прямоугольный треугольник

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все рёбра равны $\sqrt{3}$ . а) Докажите, что прямая $AC$ перпендикулярна прямой $BD_1$ . б) Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BD_1$ .

Доказываем перпендикулярность (пункт а)

Прямая $DD_1$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$ , следовательно, $DD_1 \perp AC$ .
В квадрате $ABCD$ диагонали перпендикулярны: $BD \perp AC$ .
Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $DD_1$ плоскости $(BDD_1)$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $AC$ перпендикулярна всей плоскости $(BDD_1)$ .
Так как $AC \perp (BDD_1)$ , она перпендикулярна любой прямой этой плоскости. Прямая $BD_1$ лежит в плоскости $(BDD_1)$ , значит, $AC \perp BD_1$ . Ч.т.д.

Строим треугольник и доказываем прямой угол (пункт б)

Нужно найти расстояние от точки $A$ до прямой $BD_1$ .

Рассмотри треугольник $ABD_1$ . Искомое расстояние - это высота, опущенная из вершины $A$ на сторону $BD_1$ .
Докажем, что треугольник $ABD_1$ - прямоугольный. Прямая $AB$ перпендикулярна плоскости боковой грани $(ADD_1)$ , так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AD$ и $AA_1$ . Значит, $AB$ перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в том числе $AD_1$ . Следовательно, $\angle BAD_1 = 90^\circ$ .

Находим стороны треугольника

Найдём стороны прямоугольного треугольника $ABD_1$ по пространственной теореме Пифагора:

Катет $AB = \sqrt{3}$ (по условию).
Катет $AD_1$ - диагональ квадрата $ADD_1A_1$ со стороной $\sqrt{3}$ : $AD_1 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6}$ .
Гипотенуза $BD_1$ - диагональ куба: $BD_1 = \sqrt{AB^2 + AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{3 + 3 + 3} = 3$ .

Вычисляем высоту к гипотенузе

h = \dfrac{AB \cdot AD_1}{BD_1} = \dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}{3} = \dfrac{\sqrt{18}}{3} = \dfrac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}

Ответ: б) $\sqrt{2}$

Пример 2. Цилиндр и теорема о трёх перпендикулярах

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности нижнего основания выбраны точки $A$ и $B$ , а на окружности верхнего основания - точка $C_1$ . Точка $C$ - проекция точки $C_1$ на нижнее основание, причём отрезок $AC$ является диаметром нижнего основания. Известно, что высота цилиндра равна $15$ , радиус основания равен $5$ , а длина отрезка $AB = 6$ . а) Докажите, что угол между прямыми $AB$ и $BC_1$ равен $90^\circ$ . б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$ .

Доказываем прямой угол через ТТП (пункт а)

Рассмотри окружность нижнего основания. Угол $\angle ABC$ - вписанный и опирается на диаметр $AC$ . По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, $\angle ABC = 90^\circ$ , то есть $AB \perp BC$ .
Точка $C$ - проекция $C_1$ на плоскость нижнего основания (образующая цилиндра перпендикулярна основанию). Значит, $C_1C$ - перпендикуляр к плоскости, $BC_1$ - наклонная, $BC$ - её проекция.
Прямая $AB$ лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции $BC$ . По теореме о трёх перпендикулярах (ТТП), прямая $AB$ перпендикулярна и наклонной $BC_1$ .
Значит, угол между прямыми $AB$ и $BC_1$ равен $90^\circ$ . Ч.т.д.

Сводим пункт б к высоте прямоугольного треугольника

Искомое расстояние $d$ от точки $B$ до прямой $AC_1$ - это высота треугольника $ABC_1$ из вершины $B$ . В пункте «а» доказано: $AB \perp BC_1$ , значит, треугольник $ABC_1$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B$ . Остаётся найти катеты и гипотенузу.

Находим катеты

Катет $AB = 6$ (по условию).
Найдём $BC$ из прямоугольного треугольника $ABC$ в нижнем основании. Диаметр $AC = 2 \cdot 5 = 10$ . По теореме Пифагора:

BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{100 - 36} = 8

Найдём $BC_1$ из прямоугольного треугольника $BCC_1$ (угол при $C$ прямой, так как $C_1C \perp (ABC)$ ):

BC_1 = \sqrt{BC^2 + C_1C^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17

Вычисляем гипотенузу и высоту

Прямоугольный треугольник ABC1 с высотой

Гипотенуза треугольника $ABC_1$ :

AC_1 = \sqrt{AB^2 + BC_1^2} = \sqrt{36 + 289} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13}

Высота, проведённая к гипотенузе:

d = \dfrac{AB \cdot BC_1}{AC_1} = \dfrac{6 \cdot 17}{5\sqrt{13}} = \dfrac{102}{5\sqrt{13}} = \dfrac{102\sqrt{13}}{65}

Ответ: б) $\dfrac{102\sqrt{13}}{65}$

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Расстояние от точки до прямой путают с расстоянием до точки на прямой

Ошибка: Вместо длины перпендикуляра посчитать длину отрезка из точки $B$ к ближайшей вершине на прямой $AC_1$ (например, $BA$ или $BC_1$ ) и записать её как расстояние. Правильно: Расстояние между точками и расстояние от точки до прямой - две разные величины. Отрезок $BA$ - это расстояние между точками, а не до прямой. Искомое расстояние - это всегда длина перпендикуляра $BH$ , где $H$ лежит на прямой $AC_1$ .

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 15

Время выполнения: 20-30 минут. Стереометрию лучше решать после уравнений (13) и неравенств (15).
Хитрость оценивания: Пункты «а» и «б» оцениваются независимо. Если ты не можешь доказать перпендикулярность в пункте «а», смело пиши в решении пункта «б»: «Предположим, что утверждение пункта "а" верно, тогда треугольник является прямоугольным...». Вычислив правильный ответ с опорой на недоказанный первый пункт, ты получишь 1 первичный балл.
Рисунок: Делай крупный чертёж. Цилиндры и конусы рисуй так, чтобы эллипсы оснований были достаточно широкими - иначе линии сольются, и ты не увидишь нужный прямоугольный треугольник.

За что дают баллы

В задании 15 можно заработать от 0 до 3 баллов. Эксперты оценивают логику и обоснованность каждого шага.

3 балла (Максимум): Идеально и обоснованно доказан пункт «а», абсолютно верно вычислен пункт «б». Все применяемые теоремы названы (Пифагора, о трёх перпендикулярах).
2 балла: Пункт «а» доказан верно, логика пункта «б» абсолютно правильная, но допущена одна обидная арифметическая ошибка (например, ошибка в сложении при использовании теоремы Пифагора). Либо пункт «б» решён безупречно (без использования пункта «а»), но сам пункт «а» не решён.
1 балл: Верно и полно доказан только пункт «а». Либо пункт «а» не решён, но пункт «б» решён абсолютно верно с использованием недоказанного утверждения из пункта «а».
0 баллов: Решение не содержит математически верных продвижений, или дан только правильный ответ без вычислений.

Проверь себя

Чему равно расстояние от точки до прямой в пространстве?
В прямоугольном треугольнике катеты равны $a$ и $b$ , гипотенуза $c$ . Чему равна высота, проведённая к гипотенузе?
Стороны треугольника известны, но он не прямоугольный и не равнобедренный. Как найти высоту к стороне $a$ ?
Прямая в плоскости проходит через основание наклонной и перпендикулярна её проекции. Что утверждает теорема о трёх перпендикулярах?