Рациональные уравнения и неравенства

Суть темы

Задание 10 проверяет умение работать с готовой формулой из физики, оптики или экономики. Формулу давать не нужно - она уже есть в тексте задачи. Подтема «Рациональные уравнения и неравенства» означает, что неизвестная попадает в знаменатель дроби. Типичные сюжеты - параллельное соединение резисторов, формула тонкой линзы, эффект Доплера, напряжение на нагрузке с учётом внутреннего сопротивления источника, задачи на рентабельность и средний расход топлива.

Математика при этом простая: после подстановки чисел получается уравнение или неравенство с одной дробью. Если уметь грамотно избавляться от знаменателя, задача решается за 5-7 минут.

Основные формулы

Эти формулы даны в условии каждой конкретной задачи, но их полезно узнавать в лицо: так ты сразу поймёшь, какое уравнение предстоит решать.

Ключевой факт, который экономит время: все физические величины в этих задачах строго положительны. Сопротивление, фокусное расстояние, себестоимость, расстояние до предмета - это положительные числа. Значит, знаменатель дроби (например, $R_1 + R_2$, $R + r$, $C$) гарантированно больше нуля. При решении неравенства на такой знаменатель можно смело умножать обе части, не меняя знак неравенства. Сложный метод интервалов, как в задании 16, здесь не нужен.

Алгоритм решения

Примеры решения

Три сюжета: линейно-рациональное уравнение на закон Ома для полной цепи, неравенство на параллельное соединение и задача на формулу линзы.

Пример 1. Напряжение на нагрузке

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 220 \, \text{В}$ и внутренним сопротивлением $r = 2 \, \text{Ом}$ хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле:

$$U = \dfrac{\varepsilon \cdot R}{R + r}$$

При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно $200 \, \text{В}$? Ответ дай в омах.

Решение:

Выпишем «дано»: $\varepsilon = 220$, $r = 2$, $U = 200$. Найти: $R$.

Подставим числа в формулу:

$$200 = \dfrac{220 \cdot R}{R + 2}$$

Сопротивление - физическая величина, $R > 0$, значит $R + 2 > 0$. Умножим обе части на положительный знаменатель $(R + 2)$:

$$200 \cdot (R + 2) = 220 \cdot R$$

Разделим обе части на $20$, чтобы уменьшить числа и снизить риск арифметической ошибки:

$$10 \cdot (R + 2) = 11 \cdot R$$

Раскроем скобки и соберём $R$ в правой части:

$$10 R + 20 = 11 R \iff R = 20$$

Проверка: при $R = 20$ получаем $U = \dfrac{220 \cdot 20}{20 + 2} = \dfrac{4400}{22} = 200$ В. Сошлось.

Ответ: $20$

Пример 2. Параллельное подключение приборов (неравенство)

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет $R_1 = 60 \, \text{Ом}$. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить обогреватель, сопротивление которого $R_2$ (в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ их общее сопротивление $R$ вычисляется по формуле:

$$R = \dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$$

Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше $24 \, \text{Ом}$. Определите наименьшее возможное сопротивление обогревателя. Ответ дай в омах.

Пример 3. Формула тонкой линзы

Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние $F$ (в см), расстояние от предмета до линзы $d$ (в см) и расстояние от линзы до изображения $f$ (в см):

$$\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}$$

Фокусное расстояние линзы $F = 12$ см, изображение получается на расстоянии $f = 60$ см от линзы (с противоположной от предмета стороны). На каком расстоянии $d$ от линзы нужно поместить предмет, чтобы изображение было чётким? Ответ дай в сантиметрах.

Частые ошибки

Что запомнить

• Неизвестная в знаменателе - это рациональное уравнение. Первое, что делаешь, - избавляешься от дроби умножением на знаменатель $Q$.
• Все физические величины в задаче 10 положительны, поэтому знаменатель $> 0$. Это даёт право на умножение без смены знака неравенства и без метода интервалов.
• «Не менее», «не меньше» $\implies \geqslant$; «не более», «не больше» $\implies \leqslant$. Не ведись на корень слова «меньше» в первом случае.
• Если числа огромные (например, $220$ и $200$), не перемножай их в лоб. Сначала запиши выражение, найди общий множитель, сократи.
• Для формулы линзы и параллельного сопротивления работает приём «выразить $\dfrac{1}{x}$ и перевернуть дробь» - это быстрее, чем приводить к общему знаменателю сразу три дроби.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. В задаче 10 получилось неравенство $\dfrac{60 R_2}{60 + R_2} \geqslant 24$, где $R_2 > 0$. Почему при умножении обеих частей на $(60 + R_2)$ знак неравенства не меняется?
   • Потому что $R_2 > 0$, значит $60 + R_2 > 0$ — умножение на положительное число сохраняет знак
   • Потому что в неравенствах знак меняется только при делении, а не при умножении
   • Потому что коэффициент $60$ в числителе больше $24$
2. Фраза в условии «общее сопротивление должно быть не меньше $24$ Ом» переводится в знак:
   • $R \geqslant 24$
   • $R \leqslant 24$
   • $R < 24$
3. По формуле тонкой линзы $\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}$ при $F = 12$ и $f = 60$ чему равно $d$?
   • $15$
   • $48$
   • $72$
4. Решение неравенства дало $R_2 \geqslant 40$, а в задаче просят наименьшее возможное сопротивление. Что писать в ответ?
   • $40$
   • $41$
   • Наименьшего значения не существует

Проверить