Оптимальный маршрут

Содержание

Оптимальный маршрут (Задание 17)
Модель: два участка с разной ценой
Ловушка темы: минимум бывает на границе
Родственный сюжет: две точки по одну сторону
Алгоритм
Примеры решения
Как оформить решение на 2 балла
Частые ошибки

Оптимальный маршрут (Задание 17)

Часть пути идёт по воде, часть - по берегу; часть кабеля лежит по дну, часть - вдоль берега. Скорости (или цены) на двух участках разные, поэтому прямая линия перестаёт быть выгодной: короче не значит быстрее. Задание 17 просит выбрать точку перехода из одной среды в другую и обосновать выбор.

Модель: два участка с разной ценой

Чертёж маршрута: лодка, берег и точка причаливания

График времени пути в зависимости от точки причаливания

ВАЖНОЕ

Производная с корнем

\left(\sqrt{a^2 + x^2}\right)' = \dfrac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} \implies T'(x) = \dfrac{x}{v_1\sqrt{a^2 + x^2}} - \dfrac{1}{v_2}

Приравняв к нулю, получаем $v_2x = v_1\sqrt{a^2 + x^2}$ . Обе части неотрицательны при $x \geqslant 0$ , поэтому возведение в квадрат равносильно:

v_2^2x^2 = v_1^2\left(a^2 + x^2\right) \implies x_0 = \dfrac{a v_1}{\sqrt{v_2^2 - v_1^2}} \quad (v_2 > v_1)

Для стоимости то же с заменой $v_1 \to q$ , $v_2 \to p$ : $x_0 = \dfrac{aq}{\sqrt{p^2 - q^2}}$ при $p > q$ .

Ловушка темы: минимум бывает на границе

Формула для $x_0$ даёт число, но точка перехода обязана лежать на отрезке $[0;\, L]$ . Если $x_0 > L$ , критической точки внутри отрезка нет - и весь маршрут идёт по первой среде, прямо из $A$ в $B$ .

Два положения критической точки: внутри отрезка и за его правым концом

Родственный сюжет: две точки по одну сторону

Иногда обе точки лежат вне прямой, и оба слагаемых оказываются с корнем: газопровод и две деревни, дорога и два посёлка, одна насосная станция на два дома.

Две деревни, газопровод и приём отражения

СОВЕТ

Приём отражения: ломаная выпрямляется

Отрази точку $A$ относительно прямой - получится $A'$ на том же расстоянии по другую сторону. Для любой точки $M$ прямой длины $AM$ и $A'M$ равны, поэтому длина ломаной $AM + MB$ равна длине ломаной $A'M + MB$ , а она не меньше отрезка $A'B$ . Равенство - когда $M$ лежит на отрезке $A'B$ . Значит, наименьшая суммарная длина сразу равна

A'B = \sqrt{d^2 + (h_1 + h_2)^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15

Приём даёт ответ за одну строку, но на экзамене его лучше держать как проверку: задание 17 просит исследование модели, поэтому основное решение всё равно ведут через производную.

Алгоритм

АЛГОРИТМ

Как решать задачу об оптимальном маршруте

Сделай чертёж и обозначь точку перехода. Пусть $x$ - расстояние от основания перпендикуляра $H$ до точки $C$ , в километрах.
Выпиши оба участка через $x$ . Наклонный - по теореме Пифагора $\sqrt{a^2 + x^2}$ , прямой - $L - x$ .
Составь целевую функцию. Время - делишь на скорости, стоимость - умножаешь на цены. Числа подставь сразу.
Запиши отрезок $[0;\, L]$ . Он приходит из чертежа: точка причаливания не левее $H$ и не правее $B$ .
Найди производную и реши $T'(x) = 0$ . Перед возведением в квадрат убедись, что обе части неотрицательны, и скажи об этом.
Проверь, попал ли корень в отрезок. Попал - разбери знаки слева и справа. Не попал - определи знак производной на всём отрезке и возьми конец.
Ответь на вопрос условия. Обычно спрашивают и точку («в $8$ км от $H$ »), и значение (« $4{,}5$ часа»). Оба числа с единицами.

Примеры решения

Пример 1. Где причалить рыбаку

Условие: Рыбак находится на лодке в точке $A$ на озере, в $6$ км от прямого берега; $H$ - ближайшая к лодке точка берега. Ему нужно попасть в посёлок $B$ , стоящий на берегу в $18$ км от точки $H$ . Рыбак гребёт со скоростью $4$ км/ч, а по берегу идёт пешком со скоростью $5$ км/ч. В какой точке берега ему следует причалить, чтобы добраться до посёлка за наименьшее время, и сколько времени займёт весь путь?

Составляем функцию

Пусть лодка причаливает в точке $C$ берега на расстоянии $x$ км от $H$ в сторону посёлка, где $0 \leqslant x \leqslant 18$ . Треугольник $AHC$ прямоугольный, поэтому путь по воде равен $AC = \sqrt{36 + x^2}$ км, а путь по берегу равен $CB = 18 - x$ км:

T(x) = \dfrac{\sqrt{36 + x^2}}{4} + \dfrac{18 - x}{5}, \qquad x \in [0;\, 18]

Находим производную

T'(x) = \dfrac{x}{4\sqrt{36 + x^2}} - \dfrac{1}{5}

T'(x) = 0 \iff 5x = 4\sqrt{36 + x^2}

При $x \geqslant 0$ обе части неотрицательны, поэтому возводим в квадрат:

25x^2 = 16\left(36 + x^2\right), \qquad 9x^2 = 576, \qquad x = 8

Корень $x = 8$ лежит внутри отрезка $[0;\, 18]$ .

Обосновываем минимум

$T'(0) = -\dfrac{1}{5} < 0$ , а $T'(18) = \dfrac{18}{4\sqrt{360}} - \dfrac{1}{5} \approx 0{,}037 > 0$ . Других корней на отрезке нет, значит производная меняет знак с минуса на плюс: функция убывает на $[0;\, 8)$ и возрастает на $(8;\, 18]$ , и $x = 8$ - точка минимума.

Считаем время

T(8) = \dfrac{\sqrt{36 + 64}}{4} + \dfrac{10}{5} = \dfrac{10}{4} + 2 = 4{,}5

Крайние варианты хуже: плыть прямо в посёлок - $\dfrac{\sqrt{360}}{4} \approx 4{,}74$ ч; грести к $H$ и идти пешком - $1{,}5 + 3{,}6 = 5{,}1$ ч.

Интерпретация. Причаливать нужно не напротив лодки и не у самого посёлка, а в $8$ км от $H$ : тогда по воде выходит ровно $10$ км и по берегу $10$ км, а весь путь занимает $4{,}5$ часа.

Ответ: причалить в $8$ км от $H$ в сторону посёлка; наименьшее время в пути $4{,}5$ часа.

Пример 2. Один пункт на две деревни

Условие: Две деревни расположены по одну сторону от прямого участка магистрального газопровода на расстояниях $3$ км и $6$ км от него. Расстояние между основаниями перпендикуляров $H_1$ и $H_2$ , опущенных из деревень на газопровод, равно $12$ км. На газопроводе нужно поставить один распределительный пункт и провести от него прямые отводы к обеим деревням. На каком расстоянии от точки $H_1$ следует поставить пункт, чтобы суммарная длина отводов была наименьшей, и чему равна эта длина?

Составляем функцию

Обозначим деревни $A$ (в $3$ км от газопровода) и $B$ (в $6$ км), а распределительный пункт - $M$ ; пусть $H_1M = x$ , где $0 \leqslant x \leqslant 12$ , тогда $H_2M = 12 - x$ . Из прямоугольных треугольников $AH_1M$ и $BH_2M$ :

L(x) = \sqrt{x^2 + 9} + \sqrt{(12 - x)^2 + 36}, \qquad x \in [0;\, 12]

Находим производную

L'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} - \dfrac{12 - x}{\sqrt{(12 - x)^2 + 36}}

Приравниваем к нулю. Обе части равенства $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} = \dfrac{12 - x}{\sqrt{(12 - x)^2 + 36}}$ неотрицательны при $0 \leqslant x \leqslant 12$ , поэтому возводим в квадрат и упрощаем:

x^2\left((12-x)^2 + 36\right) = (12-x)^2\left(x^2 + 9\right) \iff 36x^2 = 9(12 - x)^2

Извлекая корень (обе скобки неотрицательны), получаем $6x = 3(12 - x)$ , то есть $2x = 12 - x$ и $x = 4$ .

Обосновываем минимум

Первое слагаемое $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}$ возрастает, второе $\dfrac{12-x}{\sqrt{(12-x)^2+36}}$ убывает при росте $x$ , поэтому разность $L'(x)$ строго возрастает и меняет знак ровно один раз - с минуса на плюс. Значит $x = 4$ - точка минимума.

Считаем длину

L(4) = \sqrt{16 + 9} + \sqrt{64 + 36} = 5 + 10 = 15

На концах отрезка больше: $L(0) \approx 16{,}4$ км, $L(12) \approx 18{,}4$ км.

Интерпретация. Пункт ставят в $4$ км от $H_1$ : тогда оба отвода одинаково наклонены к газопроводу (катеты $3$ и $4$ , катеты $6$ и $8$ ), отвод к первой деревне равен $5$ км, ко второй - $10$ км, а всего требуется $15$ км трубы. Приём отражения даёт ту же длину мгновенно: $\sqrt{12^2 + 9^2} = 15$ .

Ответ: в $4$ км от точки $H_1$ ; наименьшая суммарная длина отводов $15$ км.

Пример 3. Кабель, который не сворачивает

Условие: Морская буровая платформа находится в $8$ км от прямой линии берега; $H$ - ближайшая к платформе точка берега. Береговая подстанция расположена на берегу в $6$ км от точки $H$ . Кабель ведут от платформы по дну до некоторой точки $C$ берега, а дальше - вдоль берега до подстанции. Прокладка одного километра кабеля по дну стоит $5$ млн рублей, вдоль берега - $4$ млн рублей. Какую наименьшую сумму нужно потратить на прокладку кабеля?

Составляем функцию стоимости

Пусть $C$ - точка берега на расстоянии $x$ км от $H$ в сторону подстанции, где $0 \leqslant x \leqslant 6$ . Тогда по дну проложено $\sqrt{64 + x^2}$ км кабеля, а вдоль берега - $6 - x$ км. Стоимость в миллионах рублей:

F(x) = 5\sqrt{64 + x^2} + 4(6 - x), \qquad x \in [0;\, 6]

Исследуем знак производной

F'(x) = \dfrac{5x}{\sqrt{64 + x^2}} - 4

F'(x) < 0 \iff 5x < 4\sqrt{64 + x^2} \iff 25x^2 < 16\left(64 + x^2\right) \iff 9x^2 < 1024 \iff x < \dfrac{32}{3}

Так как $6 < \dfrac{32}{3} \approx 10{,}7$ , на всём отрезке $[0;\, 6]$ производная отрицательна: функция строго убывает.

Берём конец отрезка

Наименьшее значение убывающей функции - на правом конце:

F(6) = 5\sqrt{64 + 36} + 4 \cdot 0 = 5 \cdot 10 = 50

Для сравнения: $F(0) = 5 \cdot 8 + 4 \cdot 6 = 64$ млн рублей.

Интерпретация. «Экономить» на дорогом подводном участке при таком расположении объектов невыгодно: точки минимума внутри отрезка нет вовсе. Кабель ведут по дну прямо к подстанции, его длина $10$ км, а стоимость прокладки $50$ млн рублей.

Ответ: $50$ млн рублей (кабель длиной $10$ км ведут по дну сразу к подстанции).

Как оформить решение на 2 балла

Критерии ФИПИ: $2$ балла - обоснованно получен верный ответ; $1$ балл - последовательность всех шагов верна, но допущена вычислительная ошибка; $0$ - в остальных случаях. Чертёж эксперт не требует, но текст обязан содержать шесть вещей.

Переменная: «пусть $x$ км - расстояние от $H$ до точки причаливания».
Функция одной переменной с подставленными числами: $T(x) = \dfrac{\sqrt{36 + x^2}}{4} + \dfrac{18 - x}{5}$ .
Область: отрезок $[0;\, L]$ , прочитанный с чертежа.
Производная и уравнение, причём перед возведением в квадрат сказано, что обе части неотрицательны.
Обоснование: корень принадлежит отрезку и знаки производной по обе стороны от него названы. Если корня в отрезке нет - написано, что производная сохраняет знак, и назван конец.
Ответ в терминах задачи: где именно ставить точку перехода и чему равно наименьшее время (или стоимость), с единицами.

Частые ошибки

ИТОГ

Что запомнить

Модель: $T(x) = \dfrac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \dfrac{L - x}{v_2}$ на отрезке $[0;\, L]$ ; для стоимости - $p\sqrt{a^2 + x^2} + q(L - x)$ .
$\left(\sqrt{a^2 + x^2}\right)' = \dfrac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}$ - главная производная темы.
Критическая точка: $x_0 = \dfrac{a v_1}{\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}$ (для цен - $\dfrac{aq}{\sqrt{p^2 - q^2}}$ ); в оптимуме $\sin\alpha = \dfrac{v_1}{v_2}$ .
Минимум может быть на правом конце отрезка; на левом - никогда, потому что $T'(0) < 0$ всегда.
Две точки по одну сторону от прямой - оба слагаемых с корнем, условие оптимума - равенство углов; проверка приёмом отражения.
Ответ двойной: где точка перехода и чему равно наименьшее время или стоимость.

СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: $20$ минут. Половина ошибок делается на чертеже, до всякой производной.
Чертёж - первым делом. На нём сразу видно, что $x$ и $L - x$ неотрицательны, откуда и берётся отрезок.
Числа под корнем обычно пифагоровы. Если $\sqrt{36 + x^2}$ в точке минимума даёт $10$ , а не десятичную дробь, модель почти наверняка составлена верно; корявый корень - повод перепроверить.
Сравни с двумя крайними маршрутами. «Плыть напрямую» и «плыть к $H$ , дальше пешком» считаются в одну строку и служат проверкой: найденное значение обязано быть меньше обоих.
Соседние темы. Задача «завод - точка на железной дороге - станция» разобрана в конспекте «Геометрическая оптимизация»: там та же функция, но акцент на построении модели из чертежа. Общая схема исследования на экстремум - в обзорном конспекте задания 17.

Проверь себя

Точка $A$ в $a$ км от берега, посёлок $B$ на берегу в $L$ км от основания перпендикуляра. Скорость по воде $v_1$ , по берегу $v_2$ . Чему равно время пути с причаливанием в $x$ км от $H$ ?
Чему равна производная $\sqrt{64 + x^2}$ ?
Корень уравнения $T'(x) = 0$ оказался больше $L$ . Что это значит?
Почему точка $x = 0$ (причалить прямо напротив лодки) никогда не бывает оптимальной?
Что даёт приём отражения в задаче о двух деревнях по одну сторону от прямой?