Текстовые задачи на движение и работу

Содержание

Текстовые задачи на движение и работу (Задание 13)
Две тройки величин
Что складывается, а что нет
Движение по воде
Средняя скорость
Как из фразы получается уравнение
Примеры решения
Частые ошибки
Что запомнить

Текстовые задачи на движение и работу (Задание 13)

ЗАМЕЧАНИЕ

Насколько часто это встречается

Движение и работа стоят в задании 13 нового формата по формулировке «в том числе»: сюжет разрешён, но редок - тринадцатый номер почти всегда про деньги, проценты и вклады. Базовая теория разобрана в конспектах задания 11 «Задачи на движение по прямой», «Задачи на движение по воде» и «Задачи на совместную работу»; здесь та же модель, только условие короче, обоснование не нужно и в бланк уходит одно число.

Движение и работа - самый старый школьный сюжет из всех, что попали в тринадцатый номер. Но упаковка тут новая: на задание отводится десять минут, обоснование не требуется, а в бланк уходит одно число. Поэтому и условия короткие - один участок пути, два участника, одна фраза со сравнением: «на 2 часа быстрее», «на 20 км/ч большей», «на 5 деталей в час больше». Именно из этой фразы и получается уравнение.

Две тройки величин

Путь и работа: одна и та же тройка величин

Что складывается, а что нет

Складываются только скорости и производительности - то, что делается за единицу времени. Времена не складываются никогда.

Та же логика в движении: навстречу друг другу объекты сближаются со скоростью $v_1 + v_2$ , а вдогонку - со скоростью $|v_1 - v_2|$ .

Движение по воде

Течение сдвигает скорость в обе стороны на одну и ту же величину

Средняя скорость

Как из фразы получается уравнение

Условие в этом номере почти всегда содержит ровно одну фразу-сравнение, и именно она превращается в равенство. Три самые частые связки стоит выучить наизусть:

«справился на $2$ часа быстрее» $\Rightarrow$ $t_{\text{медл}} - t_{\text{быстр}} = 2$ ;
«вместе за $6$ часов» $\Rightarrow$ $\dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2} = \dfrac{1}{6}$ ;
«в час на $5$ деталей больше» $\Rightarrow$ $p_1 = p_2 + 5$ .

АЛГОРИТМ

Алгоритм за десять минут

За $x$ бери то, что спрашивают. Тогда в конце не придётся вспоминать, что именно найдено.
Вырази второго участника через $x$ . «На $20$ км/ч больше» - это $x + 20$ ; «на $5$ часов меньше» - это $x - 5$ .
Заполни времена только по формуле $t = \dfrac{S}{v}$ (или $t = \dfrac{A}{p}$ ). Новых букв на этом шаге не вводи - иначе уравнений понадобится два.
Переведи фразу-сравнение в равенство. Из большего времени вычитается меньшее; совместная работа даёт сумму производительностей.
Умножь обе части на общий знаменатель. Дробное уравнение станет квадратным.
Отбрось посторонний корень и ответь на вопрос. Скорость, время и производительность положительны, поэтому отрицательный корень отбрасывается сразу.

Примеры решения

Пять разборов закрывают весь диапазон сюжетов, которые встречаются в этом номере.

Пример 1. Средняя скорость на всём пути

Велосипедист проехал $45$ км за $3$ часа, а затем прошёл пешком $5$ км за $2$ часа. Найдите среднюю скорость велосипедиста на всём пути (в километрах в час).

Пример 2. Разница во времени: автомобиль и автобус

Расстояние между двумя городами равно $240$ км. Автомобиль проезжает его со скоростью на $20$ км/ч большей, чем рейсовый автобус, и тратит на дорогу на $1$ час меньше. Найдите скорость автомобиля (в километрах в час).

Вводим переменную и заполняем таблицу

Спрашивают скорость автомобиля - её и обозначим за $x$ км/ч. Тогда автобус едет со скоростью $(x - 20)$ км/ч.

Кто	$S$ (км)	$v$ (км/ч)	$t$ (ч)
Автомобиль	$240$	$x$	$\dfrac{240}{x}$
Автобус	$240$	$x - 20$	$\dfrac{240}{x - 20}$

Составляем уравнение

Автомобиль тратит на час меньше, значит его время меньше. Вычитаем меньшее из большего:

\dfrac{240}{x - 20} - \dfrac{240}{x} = 1

Приводим к квадратному

Умножаем обе части на $x(x - 20)$ :

240x - 240(x - 20) = x(x - 20)

4800 = x^2 - 20x \implies x^2 - 20x - 4800 = 0

D = 400 + 19200 = 19600 = 140^2

x = \dfrac{20 + 140}{2} = 80 \qquad \text{(корень } -60 \text{ отбрасываем)}

Проверяем

Автобус: $240 : 60 = 4$ ч. Автомобиль: $240 : 80 = 3$ ч. Разница ровно час.

Ответ: $80$ .

Пример 3. Катер вниз по реке и обратно

Катер прошёл $126$ км вниз по реке и столько же обратно, затратив на весь путь $16$ часов. Скорость течения реки равна $2$ км/ч. Найдите собственную скорость катера (в километрах в час).

Пример 4. Двое собирают шкаф

Два мастера, работая вместе, собирают шкаф за $6$ часов. Первому мастеру на всю работу в одиночку требуется на $5$ часов меньше, чем второму. За сколько часов соберёт шкаф первый мастер, работая один?

Пример 5. Заказ на 200 деталей

Два токаря получили одинаковый заказ на $200$ деталей. Первый вытачивает в час на $5$ деталей больше второго и справляется с заказом на $2$ часа быстрее. Сколько деталей в час вытачивает первый токарь?

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутан знак в разности времён

Ошибка: записать $\dfrac{240}{x} - \dfrac{240}{x - 20} = 1$ , то есть вычесть большее время из меньшего. Левая часть станет отрицательной, и уравнение решений не даст. Правильно: «быстрее» означает меньше времени. Из времени медленного участника вычитается время быстрого; правая часть при этом положительна. Если после раскрытия скобок получилось $-4800 = x^2 - 20x$ , знак перепутан.

Что запомнить

$S = v \cdot t$ и $A = p \cdot t$ - одна и та же формула; скорость и производительность играют одну роль.
Вся работа берётся за $1$ , производительность одиночки равна $\dfrac{1}{t}$ .
Складываются скорости и производительности; времена не складываются никогда.
По течению $v + u$ , против течения $v - u$ ; плот движется со скоростью течения.
Средняя скорость - это весь путь, делённый на всё время, а не среднее арифметическое.
Фраза-сравнение из условия и есть уравнение: разность времён, сумма производительностей или разность производительностей.
Дробное уравнение умножают на общий знаменатель, получают квадратное, отрицательный корень отбрасывают.

СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: по спецификации на задание отводится $10$ минут; такая задача решается за $5$ - $7$ .
Единицы приводи сразу. Минуты переводи в часы (или наоборот) до составления уравнения, а не после: $30$ мин - это $0{,}5$ ч.
Дискриминант обязан быть полным квадратом. В этом номере числа подобраны так, что корень извлекается нацело. Получился $\sqrt{4231}$ - ошибка в уравнении, а не в арифметике.
Проверка занимает полминуты. Подставь найденное число обратно в условие: посчитай оба времени и сравни их разность с той, что дана.
Формат ответа: только число, без единиц измерения; десятичная дробь пишется через запятую ( $6{,}8$ , а не $6.8$ ).

Проверь себя

Рабочий выполняет всю работу за $12$ часов. Чему равна его производительность?
Собственная скорость лодки $15$ км/ч, скорость течения $3$ км/ч. С какой скоростью лодка идёт против течения?
Пешеход прошёл $12$ км за $3$ часа, а затем $6$ км за $1$ час. Какова его средняя скорость?
Двое вместе выполняют работу за $4$ часа, первый в одиночку - за $6$ часов. За сколько часов выполнит работу второй?
В условии сказано: «первый справился на $3$ часа быстрее второго». Какое равенство верно?

Текстовые задачи на движение и работу

Текстовые задачи на движение и работу (Задание 13)

Две тройки величин

Что складывается, а что нет

Движение по воде

Средняя скорость

Как из фразы получается уравнение

Примеры решения

Собираем весь путь и всё время

Делим одно на другое

Почему нельзя усреднить сами скорости

Вводим переменную и заполняем таблицу

Составляем уравнение

Приводим к квадратному

Проверяем

Записываем обе скорости через одну букву

Составляем уравнение

Решаем

Проверяем

Обозначаем времена и производительности

Составляем уравнение

Решаем

Проверяем

Вводим переменную

Составляем уравнение

Решаем

Проверяем

Частые ошибки

Что запомнить