Задание 11: Текстовые задачи

Содержание

О задании
Какие темы встречаются
Основные формулы и аналогии
Общий алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Стратегия на экзамене

О задании

Задание 11 - это классическая текстовая задача. Она проверяет умение переводить реальные ситуации (движение баржи, работу насосов или смешивание кислот) на строгий язык математики - составлять уравнения и решать их.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ сюжеты текстовых могут быть самыми разными. Стоит делать упор на следующие 4 типа:

Движение по воде - лодки, катера, баржи. Главная фишка: наличие скорости течения.
Движение по прямой - поезда, автомобили, пешеходы. Часто встречаются задачи с опозданиями или остановками.
Совместная работа - трубы, насосы, рабочие. Математически это полное отражение задач на движение.
Проценты, сплавы и смеси - сливание растворов, смешивание сплавов или высушивание фруктов.

Основные формулы и аналогии

Задачи на движение и работу решаются по одному и тому же принципу. В них всегда участвуют три величины:

Если в задаче на работу объём не указан (например, «первый рабочий красит забор...»), то вся работа принимается за $1$ .

Для задач на движение по воде всегда учитывай течение:

Скорость по течению = $v_{\text{собств}} + v_{\text{теч}}$
Скорость против течения = $v_{\text{собств}} - v_{\text{теч}}$

Общий алгоритм решения

Почти любую задачу 11 можно решить с помощью табличного метода.

Схематичная таблица 3 столбца (S, v, t) на 2 строки (Объект

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения через таблицу

Нарисуй таблицу 3×2. Столбцы - это $S, v, t$ (или $A, p, t$ ). Строки - это объекты (Первый/Второй, По течению/Против течения).
Заполни два столбца. Обозначь то, что нужно найти, за $x$ . Заполни столбец скорости (или производительности) и столбец пути (или работы) из условий задачи.
Вырази третий столбец. В столбце времени $t$ не пиши новые буквы. Запиши его как дробь: путь разделить на скорость ( $\frac{S}{v}$ ).
Составь уравнение. В тексте задачи всегда есть условие для времени: кто-то приехал раньше, кто-то сделал остановку, или они потратили равное время. Свяжи дроби из третьего столбца этим условием.
Реши уравнение. Обычно оно сводится к квадратному. Отрицательный корень сразу отбрасывается.
Перечитай вопрос. Убедись, что найденный $x$ - это именно то, что просили в ответе.

Примеры решения

Разберём три самые популярные подтемы, двигаясь от классики к более специфичным сюжетам.

Пример 1. Движение по воде

Условие: Моторная лодка прошла против течения реки $60$ км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на $1$ час меньше. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна $1$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Вводим переменную и заполняем таблицу

Обозначим собственную скорость лодки за $x$ км/ч. Тогда скорость по течению равна $x + 1$ , а против течения - $x - 1$ . Заполним таблицу:

Направление	$S$ (км)	$v$ (км/ч)	$t$ (ч)
Против теч.	$60$	$x - 1$	$\dfrac{60}{x - 1}$
По теч.	$60$	$x + 1$	$\dfrac{60}{x + 1}$

Составляем уравнение

Известно, что время на обратный путь (по течению) на $1$ час меньше. Значит, если из большего времени (против течения) вычесть меньшее (по течению), получится $1$ :

\dfrac{60}{x - 1} - \dfrac{60}{x + 1} = 1

Приводим к общему знаменателю

Приведём левую часть к общему знаменателю:

\dfrac{60(x + 1) - 60(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = 1

Раскроем скобки в числителе и свернём знаменатель по формуле разности квадратов:

\dfrac{60x + 60 - 60x + 60}{x^2 - 1} = 1

\dfrac{120}{x^2 - 1} = 1

Решаем уравнение и отбираем корень

Умножим обе части на $x^2 - 1$ (при условии $x > 1$ ):

120 = x^2 - 1 \implies x^2 = 121

Корень $x = -11$ не подходит по физическому смыслу (скорость не может быть отрицательной). Остаётся $x = 11$ . Нас просили найти собственную скорость лодки - мы её и брали за $x$ .

Ответ: 11

Пример 2. Совместная работа

Условие: Первая труба пропускает на $3$ литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом $108$ литров она заполняет на $3$ минуты дольше, чем вторая труба?

Вводим переменную и заполняем таблицу

Пусть $x$ л/мин - скорость (производительность) второй трубы. Тогда первая труба пропускает $x - 3$ л/мин. Заполняем таблицу ( $A, p, t$ ):

Труба	$A$ (л)	$p$ (л/мин)	$t$ (мин)
Первая	$108$	$x - 3$	$\dfrac{108}{x - 3}$
Вторая	$108$	$x$	$\dfrac{108}{x}$

Составляем уравнение

Первая труба заполняет резервуар на $3$ минуты дольше. Значит, её время больше. Вычитаем из большего времени меньшее:

\dfrac{108}{x - 3} - \dfrac{108}{x} = 3

Разделим обе части уравнения на $3$ , чтобы упростить вычисления:

\dfrac{36}{x - 3} - \dfrac{36}{x} = 1

Приводим к общему знаменателю

Приведём к общему знаменателю:

\dfrac{36x - 36(x - 3)}{x(x - 3)} = 1

\dfrac{36x - 36x + 108}{x^2 - 3x} = 1 \implies 108 = x^2 - 3x

Решаем квадратное уравнение

Получаем квадратное уравнение:

x^2 - 3x - 108 = 0

Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441 = 21^2$ . Корни: $x = \dfrac{3 \pm 21}{2}$ . Положительный корень $x = 12$ .

Перечитываем вопрос

Внимание: за $x$ мы брали производительность второй трубы. А в вопросе просят найти производительность первой. Вычисляем: $12 - 3 = 9$ .

Ответ: 9

Пример 3. Сплавы и смеси

Условие: Имеется два сплава. Первый содержит $40\%$ меди, второй - $15\%$ меди. Масса первого сплава больше массы второго на $10$ кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий $30\%$ меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 11

Время выполнения: 5-10 минут.
Очерёдность: Решай вместе с первой частью. Задача стандартная и алгоритмичная.
Проверка корней: В $99\%$ случаев квадратное уравнение в этом задании имеет "красивый" дискриминант (полный квадрат). Если корень не извлекается - ты где-то ошибся при составлении уравнения или раскрытии скобок. Пересчитай сразу.
Упрощение: Если числители в дробно-рациональном уравнении делятся на одно и то же число (как в Примере 2), обязательно сократи их до того, как приводить к общему знаменателю. Это спасёт от гигантских дискриминантов.

Проверь себя

Скорость лодки по течению реки равна...
В задаче на работу объём работы не указан. За что принимают всю работу?
Лодка проходит $60$ км против течения со скоростью $x-1$ км/ч. Сколько времени это занимает?
Ты решил уравнение и нашёл $x$ . Что нужно сделать перед записью ответа?

Задание 11: Текстовые задачи

О задании

Какие темы встречаются

Основные формулы и аналогии

Общий алгоритм решения

Примеры решения

Вводим переменную и заполняем таблицу

Составляем уравнение

Приводим к общему знаменателю

Решаем уравнение и отбираем корень

Вводим переменную и заполняем таблицу

Составляем уравнение

Приводим к общему знаменателю

Решаем квадратное уравнение

Перечитываем вопрос

Вводим переменную

Составляем уравнение баланса меди

Решаем уравнение

Находим массу третьего сплава

Частые ошибки

Стратегия на экзамене