Законы Джоуля - Ленца, Ома и формулу высоты при броске помнить не надо: они приходят прямо в условии вместе с числами. Проверяют другое - умение увидеть в чужой формуле функцию одной переменной, отрезать по физическому смыслу лишние значения аргумента и найти экстремум с обоснованием. Физика поставляет сюжет, вся математика здесь - школьная производная.
Что означает «формула дана»
Четыре формы, к которым всё сводится
Сюжеты разные - цепь, бросок, струя, расход топлива, - а функций после подстановки чисел выходит всего четыре вида, и вид сразу подсказывает приём.
Область определения приходит из физики
Алгоритм решения
Примеры решения
Пример 1. Мощность в цепи с длинными проводами
Условие:
Источник тока с ЭДС ε=30 В и внутренним сопротивлением r=2 Ом подключён к нагрузке длинными проводами, суммарное сопротивление которых R0=3 Ом. Сопротивление нагрузки R (в омах) регулируется реостатом. Сила тока в цепи находится по закону Ома: I=R+r+R0ε, а мощность в нагрузке - по закону Джоуля - Ленца: P=I2R. Какова наибольшая мощность, которую можно выделить в нагрузке?
Составляем функцию
Переменная - сопротивление нагрузки R, остальные буквы даны числами:
P=I2R=(R+r+R0)2ε2R=(R+5)2900R
Сопротивление неотрицательно, поэтому область определения - луч R⩾0; знаменатель на нём не ноль.
При R⩾0 знаменатель положителен, значит знак дроби задаёт скобка 5−R. На [0;5) производная положительна и функция возрастает, при R>5 - отрицательна и убывает. Знак меняется с плюса на минус: R=5 - точка максимума.
Возвращаемся к вопросу
Спрашивают мощность, а не сопротивление:
P(5)=(5+5)2900⋅5=1004500=45
Ответ:45 Вт.
Пример 2. Бросок вверх с балкона
Условие:
С балкона на высоте h0=3 м над землёй вертикально вверх бросают мяч со скоростью v0=30 м/с. Высота мяча (в метрах) через t секунд после броска задаётся формулой h(t)=h0+v0t−2gt2, где g=10 м/с2. На какую наибольшую высоту поднимется мяч?
Составляем функцию
Переменная - время t в секундах, оно неотрицательно:
h(t)=3+30t−210t2=−5t2+30t+3
Опознаём форму
Квадратичная функция с a=−5<0: ветви вниз, единственный экстремум - вершина, и в ней наибольшее значение. Производная не нужна.
t0=−2ab=−2⋅(−5)30=3
Момент t0=3 с попадает в промежуток t⩾0.
Считаем высоту
h(3)=−45+90+3=48
Ответ:48 м.
Пример 3. Струя воды на лопатке турбины
Условие:
Струя воды сечением S=0,002 м2, движущаяся со скоростью v=15 м/с, бьёт по лопатке турбины, которая движется в направлении струи со скоростью u м/с, где 0⩽u⩽v. Передаваемая лопатке мощность (в ваттах) равна P=2ρS(v−u)2u, где ρ=1000 кг/м3 - плотность воды. Какова наибольшая мощность, которую струя может передать лопатке?
Составляем функцию
Переменная - скорость лопатки u. Постоянный множитель считаем сразу: 2ρS=2⋅1000⋅0,002=4.
P(u)=4(15−u)2u,0⩽u⩽15
Находим производную
P′(u)=4(15−u)[(15−u)−2u]=4(15−u)(15−3u)
Корни u=15 и u=5 оба лежат в промежутке.
Проверяем знаки производной
При 0<u<5 обе скобки положительны и P′(u)>0 - мощность растёт. При 5<u<15 вторая скобка отрицательна и P′(u)<0 - мощность убывает. Значит u=5 - точка максимума. Корень u=15 - конец промежутка, там P(15)=0: струя не догоняет лопатку.
Считаем мощность
P(5)=4⋅102⋅5=2000
Ответ:2000 Вт, то есть 2 кВт.
Пример 4. Экономичная скорость катера
Условие:
Расход топлива катера при равномерном движении со скоростью v км/ч задаётся формулой q(v)=54+0,001v3 литров в час, где 0<v⩽60. При какой скорости расход топлива на один километр пути будет наименьшим?
Составляем функцию
Дан расход за час, а спрашивают расход на километр; за час катер проходит v километров:
Q(v)=vq(v)=v54+0,001v2,0<v⩽60
Находим производную
Q′(v)=−v254+0,002v=0⟺v3=27000⟺v=30
Проверяем знаки производной
При 0<v<30 выполнено 0,002v<v254 и Q′(v)<0 - расход убывает. При 30<v⩽60 неравенство противоположное и Q′(v)>0 - расход растёт. Знак меняется с минуса на плюс: v=30 - точка минимума.
Отвечаем на вопрос
Спрашивают скорость, а не расход, поэтому подставлять v=30 не нужно: Q(30)=2,7 литра на километр - ответ на другой вопрос.
Ответ:30 км/ч.
Пример 5. Дальность струи из бака
Условие:
Открытый бак высотой H=1,8 м доверху наполнен водой. В боковой стенке на высоте h метров от дна делают маленькое отверстие; струя, вылетая горизонтально, падает на пол на расстоянии L(h)=2h(H−h) метров от стенки. На каком наибольшем расстоянии может упасть струя?
Составляем функцию и промежуток
Переменная - высота отверстия h; оно лежит между дном и уровнем воды, поэтому 0<h<1,8, а L(h)=2h(1,8−h).
Убираем корень до дифференцирования
Функция y=x строго возрастает, поэтому L(h) и подкоренное выражение
f(h)=h(1,8−h)=−h2+1,8h
достигают наибольшего значения в одной и той же точке. Исследовать удобнее f.
Находим максимум подкоренного выражения
f - квадратичная функция, a=−1<0, ветви вниз, максимум в вершине:
h0=−2⋅(−1)1,8=0,9
Точка лежит внутри промежутка (0;1,8).
Считаем дальность
f(0,9)=0,81,L(0,9)=20,81=1,8
Наибольшая дальность в точности равна высоте бака, а отверстие делают посередине стенки.
Ответ:1,8 м.
Частые ошибки
Проверь себя
В формуле P=(R+r)2ε2R даны ε=20 и r=4. Что здесь переменная?
Высота задана формулой h(t)=−5t2+40t+2. Как быстрее найти наибольшую высоту?
Мощность на лопатке P(u)=4(12−u)2u при 0⩽u⩽12. В какой точке максимум?
Дальность струи L(h)=2h(1,8−h). Почему можно исследовать только выражение h(1,8−h)?
