Оценки по выборке

Содержание

Оценки по выборке (Задание 6)
Совокупность и выборка
Выборочное среднее
Два делителя
Алгоритм
Примеры решения
Частые ошибки

Оценки по выборке (Задание 6)

До сих пор распределение было известно: таблица с вероятностями, среднее, дисперсия. В реальной задаче всё наоборот - распределения никто не видел, есть только несколько измерений. Пять замеров времени доставки, пять месяцев расхода воды, пять матчей команды. По ним нужно оценить характеристики всей совокупности: где её центр и как велик разброс. Формулы похожи на привычные, но одна деталь отличается - делитель $n - 1$ , и именно за неё цепляется задача.

Совокупность и выборка

Выборочное среднее

Восстановление пропущенного значения по сумме

Два делителя

ВАЖНОЕ

Выборочная дисперсия и несмещённая оценка

Выборочная дисперсия (делитель $n$ ):

\sigma_{\text{в}}^2 = \dfrac{(x_1 - \overline{x})^2 + \ldots + (x_n - \overline{x})^2}{n}

Несмещённая оценка дисперсии (делитель $n - 1$ ):

S^2 = \dfrac{(x_1 - \overline{x})^2 + \ldots + (x_n - \overline{x})^2}{n - 1}

Числитель у них общий, отличается только знаменатель. Выборочное стандартное отклонение - корень из выбранной величины: $s = \sqrt{S^2}$ .

ЗАМЕЧАНИЕ

Почему делят на

n - 1

Отклонения считают не от истинного среднего совокупности (оно неизвестно), а от выборочного - а выборочное среднее подстроено под сами данные. Сумма квадратов отклонений от $\overline{x}$ - наименьшая из возможных: от любого другого числа она больше. Для набора $11,\ 14,\ 12,\ 15,\ 13$ отклонения от $\overline{x} = 13$ дают $10$ , а от $12$ или от $14$ - уже $15$ . Значит, деление на $n$ систематически занижает разброс совокупности. Делитель $n - 1$ ровно компенсирует этот недобор: в среднем по всем возможным выборкам $S^2$ попадает в истинную дисперсию. Слово «несмещённая» и означает «без систематического перекоса».

Один числитель, два делителя, два ответа

Алгоритм

АЛГОРИТМ

Как считать оценки по выборке

Выпиши выборку и посчитай $n$ . Число значений считай по головам: именно здесь теряется одно слагаемое.
Найди сумму и раздели на $n$ - это $\overline{x}$ . Если одно значение неизвестно, сперва восстанови его из равенства «сумма $= n \cdot \overline{x}$ ».
Выпиши отклонения $x_i - \overline{x}$ в строку и проверь: их сумма обязана равняться нулю.
Возведи отклонения в квадрат и сложи. Это общий числитель обеих формул.
Подели на тот делитель, который назван в условии - на $n$ или на $n - 1$ .
Извлеки корень, если спрашивают отклонение. Дисперсия - в квадратах единиц, отклонение - в исходных.

Примеры решения

Пример 1. Выборочное среднее

Условие: Курьерская служба замерила время доставки пяти случайно выбранных заказов (в минутах): $26$ ; $29$ ; $27$ ; $30$ ; $28$ . Найдите выборочное среднее времени доставки. Ответ дайте в минутах.

Пример 2. Несмещённая оценка дисперсии

Условие: Управляющая компания выписала расход холодной воды в квартире за пять случайно выбранных месяцев (в кубометрах): $11$ ; $14$ ; $12$ ; $15$ ; $13$ . Найдите несмещённую оценку дисперсии расхода воды.

Пример 3. Пропущенное значение и разброс

Условие: За пять матчей баскетбольная команда набрала $30$ , $34$ , $x$ , $36$ и $33$ очка, причём выборочное среднее числа очков за матч равно $33$ . Найдите несмещённую оценку дисперсии числа очков за матч.

Пример 4. Выборочное стандартное отклонение

Условие: Оператор колл-центра отвечал на пять случайно выбранных звонков за $18$ ; $18$ ; $20$ ; $22$ ; $22$ секунды. Найдите выборочное стандартное отклонение времени ответа, взяв несмещённую оценку дисперсии. Ответ дайте в секундах.

Частые ошибки

ИТОГ

Что запомнить

$\overline{x} = \dfrac{x_1 + \ldots + x_n}{n}$ - оценка математического ожидания; отсюда «сумма $= n \cdot \overline{x}$ ».
Числитель у обеих дисперсий общий: сумма квадратов отклонений от $\overline{x}$ .
Делитель $n$ - выборочная дисперсия, делитель $n - 1$ - несмещённая оценка $S^2$ .
$n - 1$ появляется потому, что отклонения считают от подстроенного под данные $\overline{x}$ : иначе разброс систематически занижается.
Сумма отклонений от $\overline{x}$ равна нулю - бесплатная проверка на каждом шаге.
Стандартное отклонение выборки $s = \sqrt{S^2}$ измеряется в тех же единицах, что и данные.

СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: 3-4 минуты. Задача чисто арифметическая, ошибки берутся из невнимательности, а не из сложности.
Первый ход: обведи в условии делитель. Формулу в задании 6 дают явно, и она решает половину задачи.
Работай с отклонениями, а не с квадратами значений. Для набора из пяти чисел отклонения обычно маленькие и целые, а $E(x^2)$ уводит в четырёхзначные числа.
Проверка нулём: сумма отклонений равна нулю. Это одна строка и мгновенная страховка.
Проверка порядком: $S^2$ не бывает отрицательной, а $s$ не бывает больше размаха выборки.

Проверь себя

Найдите выборочное среднее набора $4$ ; $7$ ; $9$ ; $12$ .
Сумма квадратов отклонений от среднего равна $24$ , объём выборки $n = 4$ . Чему равна несмещённая оценка дисперсии?
Выборка из шести чисел имеет среднее $10$ . Чему равна сумма всех значений?
Чему всегда равна сумма отклонений значений выборки от выборочного среднего?
Несмещённая оценка дисперсии равна $9$ . Чему равно выборочное стандартное отклонение?

Оценки по выборке

Оценки по выборке (Задание 6)

Совокупность и выборка

Выборочное среднее

Два делителя

Алгоритм

Примеры решения

Складываем значения

Делим на объём выборки

Считаем выборочное среднее

Выписываем отклонения

Складываем квадраты и делим на $n - 1$

Восстанавливаем пропущенное значение

Выписываем отклонения от среднего $33$

Считаем оценку

Находим среднее

Считаем сумму квадратов отклонений

Делим и извлекаем корень

Частые ошибки

Оценки по выборке

Оценки по выборке (Задание 6)

Совокупность и выборка

Выборочное среднее

Два делителя

Алгоритм

Примеры решения

Складываем значения

Делим на объём выборки

Считаем выборочное среднее

Выписываем отклонения

Складываем квадраты и делим на n−1n - 1n−1

Восстанавливаем пропущенное значение

Выписываем отклонения от среднего 333333

Считаем оценку

Находим среднее

Считаем сумму квадратов отклонений

Делим и извлекаем корень

Частые ошибки

Складываем квадраты и делим на $n - 1$

Выписываем отклонения от среднего $33$