Нормальное распределение

Нормальное распределение (Задание 6)

Рост человека, масса пачки крупы, диаметр вытачиваемого вала, время доставки заказа - величины совершенно разной природы, но картинка распределения у всех получается одна и та же: симметричный «колокол» с вершиной над средним значением. Это и есть нормальное распределение, и в задании 6 оно даёт самый узнаваемый сюжет.

Хорошая новость: интегралы не нужны. В условии таких задач прямо напечатаны три числа - $0{,}68$, $0{,}95$ и $0{,}997$, - и вся работа сводится к тому, чтобы понять, какой кусок колокола у тебя спрашивают, и собрать ответ из этих трёх чисел.

Два числа, которые задают колокол

Нормальная величина полностью описывается двумя числами, и оба уже знакомы по дискретному случаю.

Из симметрии сразу следует то, чем пользуются в задачах чаще всего:

Половина значений левее среднего, половина правее. И два «хвоста», одинаково удалённых от $a$, всегда равны между собой.

Правило трёх сигм

Точную площадь под колоколом школьными средствами не посчитать, поэтому в задании 6 нужные числа выдают готовыми. Их печатают прямо в условии - заучивать не обязательно, но узнавать нужно мгновенно.

Разрежь колокол по всем засечкам - и останется всего четыре разных числа: правая половина зеркально повторяет левую.

Как перевести условие в сигмы

Условие говорит в граммах, миллиметрах и минутах, а правило трёх сигм - в сигмах. Перевод и есть главный шаг решения.

Три формы вопроса

Дальше всё зависит только от того, какой кусок колокола закрашен.

Примеры решения

Пример 1. Симметричный промежуток

Рост юношей выпускных классов распределён нормально с математическим ожиданием $176$ см и стандартным отклонением $6$ см. Найдите долю юношей, рост которых составляет от $164$ до $188$ см.

Считайте, что для нормально распределённой величины $X$ с математическим ожиданием $a$ и стандартным отклонением $\sigma$ выполнены равенства $P(a - \sigma < X < a + \sigma) = 0{,}68$, $P(a - 2\sigma < X < a + 2\sigma) = 0{,}95$, $P(a - 3\sigma < X < a + 3\sigma) = 0{,}997$.

Пример 2. Один хвост

Масса батона хлеба распределена нормально с математическим ожиданием $400$ г и стандартным отклонением $5$ г. Найдите долю батонов, которые легче $390$ г.

Пример 3. Несимметричный промежуток

Диаметр вала, выпускаемого станком, распределён нормально с математическим ожиданием $40$ мм и стандартным отклонением $0{,}2$ мм. Найдите долю валов, диаметр которых составляет от $39{,}8$ до $40{,}4$ мм.

Пример 4. От доли к количеству

Автомат фасует крупу в пачки. Масса пачки распределена нормально с математическим ожиданием $500$ г и стандартным отклонением $4$ г. Пачка бракуется, если её масса отличается от $500$ г более чем на $12$ г. Сколько бракованных пачек в среднем окажется в партии из $20\,000$ пачек?

Пример 5. Обратная задача: найти сигму

Длина детали распределена нормально с математическим ожиданием $60$ мм. Известно, что $84\%$ деталей короче $62$ мм. Найдите стандартное отклонение длины детали. Ответ дайте в миллиметрах.

Частые ошибки

Что запомнить

• Нормальная величина задаётся парой чисел: $a = E(X)$ - центр и ось симметрии, $\sigma = \sqrt{D(X)}$ - ширина колокола.
• Колокол симметричен: $P(X < a) = P(X > a) = 0{,}5$, а хвосты, одинаково удалённые от $a$, равны между собой.
• Готовые числа $0{,}68$, $0{,}95$, $0{,}997$ правило даёт только для симметричных промежутков $(a - k\sigma;\ a + k\sigma)$.
• Первый шаг любой задачи - перевод границ в сигмы: раздели «граница минус $a$» на $\sigma$. Должно получиться $1$, $2$ или $3$.
• Один хвост: $(1 - P) : 2$. Оба хвоста сразу: $1 - P$. Несимметричный промежуток: сумма двух половинок.
• Опорные половинки: $0{,}34$, $0{,}135$, $0{,}0235$, $0{,}0015$. Их сумма равна $0{,}5$.

Проверь себя

1. Величина $X$ распределена нормально, $a = 20$, $\sigma = 3$. Чему равна $P(14 < X < 26)$?
   • $0{,}95$
   • $0{,}68$
   • $0{,}997$
   • $0{,}475$
2. Пусть $a = 50$ и $\sigma = 2$. Какова доля значений, больших $52$?
   • $0{,}16$
   • $0{,}32$
   • $0{,}34$
   • $0{,}68$
3. Пусть $a = 10$ и $\sigma = 1$. Чему равна $P(9 < X < 12)$?
   • $0{,}815$
   • $0{,}27$
   • $0{,}63$
   • $0{,}95$
4. Дано $a = 100$ и $D(X) = 16$. Каковы границы промежутка «две сигмы»?
   • $92$ и $108$
   • $96$ и $104$
   • $68$ и $132$
   • $84$ и $116$

Проверить