Декорации узнаваемые: озеро с рыбой, лекарство в крови, реакция в колбе, лист на свету. Формулу процесса дают в условии - биологию и химию учить не нужно. Меняется класс функций: парабола редка, зато постоянны дроби с квадратом в знаменателе и произведения с затухающей экспонентой. Область определения почти всегда луч, а не отрезок, поэтому ход «сравним значения на концах» не работает: экстремум обосновывают знаком производной. Решение пишут развёрнуто, и последняя строка обязана вернуться из математики в озеро или колбу.
Четыре кривые, которые здесь встречаются
Сюжетов много, а формул по существу четыре. Опознавай кривую по виду формулы.
Знак производной без единого числа
Луч вместо отрезка
Границы приходят не из формулы, а из смысла величины: время с момента приёма - t>0, освещённость и концентрация неотрицательны, численность живёт между нулём и ёмкостью среды. Отрезок появляется, когда условие само называет верхнюю границу: вместимость садка, мощность лампы.
Алгоритм решения
Примеры решения
Пример 1. Наибольший устойчивый вылов
Условие:
Годовой прирост популяции карпа в озере зависит от численности N (в тысячах особей) по формуле v(N)=0,6N(1−60N) тысяч особей в год, где 0<N<60. Рыбхоз собирается вылавливать ровно годовой прирост, чтобы численность не менялась. Какой наибольший ежегодный вылов можно так обеспечить?
Выписываем функцию
Вылов равен приросту, значит исследуем v(N) при 0<N<60:
v(N)=0,6N−600,6N2=0,6N−0,01N2
Ищем точку максимума
v′(N)=0,6−0,02N,v′(N)=0⟺N=30
При 0<N<30 производная положительна, при 30<N<60 отрицательна: функция возрастает, затем убывает, значит N=30 - точка максимума. Тот же вывод даёт парабола: ветви вниз, вершина между нулями.
Считаем и толкуем
v(30)=0,6⋅30⋅(1−6030)=18⋅0,5=9
Для сравнения: v(20)=8 и v(40)=8 - оба меньше.
А если численность ограничена
Пусть в садках разрешено держать не более 20 тысяч особей. Промежуток стал отрезком 0⩽N⩽20, на нём v′(N)⩾0,6−0,02⋅20=0,2>0: функция возрастает, точка N=30 в него не попала, и наибольший прирост - на правом конце, v(20)=8. Корень производной вне отрезка всегда означает ответ на его конце.
Ответ: численность надо держать на уровне 30 тысяч особей, вылов - 9 тысяч особей в год.
Пример 2. Наибольшая концентрация лекарства
Условие:
После однократного приёма препарата его концентрация в крови (в миллиграммах на литр) меняется по закону C(t)=t2+436t, где t>0 - время в часах с момента приёма. Найдите наибольшую концентрацию.
Дифференцируем частное
C′(t)=(t2+4)236(t2+4)−36t⋅2t=(t2+4)236(4−t2)
Разбираем знак
Знаменатель - квадрат, положительный при всех t, поэтому знак производной совпадает со знаком 4−t2: при 0<t<2 оно положительно, при t>2 отрицательно. Функция возрастает на (0;2) и убывает на (2;+∞): t=2 - точка максимума.
Считаем и толкуем
C(2)=4+436⋅2=872=9
Для сравнения: C(1)=7,2 и C(4)=7,2 мг/л.
Ответ: наибольшая концентрация равна 9 мг/л, достигается через 2 часа после приёма.
Пример 3. Когда отбирать пробу
Условие:
Реакция идёт в две стадии: исходное вещество превращается в промежуточное, а то - в конечный продукт. Концентрация промежуточного вещества (мг/л) меняется по закону c(t)=40te−t/5, где t>0 - время в часах от начала реакции. Через какое время его концентрация будет наибольшей?
Дифференцируем произведение
c′(t)=40e−t/5+40t⋅(−51)e−t/5=40e−t/5(1−5t)
Разбираем знак
Множитель 40e−t/5 положителен при любом t, поэтому знак задаёт скобка 1−5t: при 0<t<5 она положительна, при t>5 отрицательна. Функция возрастает, затем убывает, и t=5 - точка максимума.
Считаем и толкуем
c(5)=40⋅5⋅e−1=e200≈73,6
Ответ: концентрация наибольшая (около 73,6 мг/л) через 5 часов - тогда и отбирают пробу.
Пример 4. Насыщение против угнетения
Условие:
Скорость роста культуры бактерий (в миллионах клеток в час) зависит от концентрации субстрата S (г/л) по формуле v(S)=5+S45S−S при S⩾0: первое слагаемое - питание, второе - угнетение продуктами обмена. Найдите наибольшую скорость роста и концентрацию субстрата, при которой она достигается.
Вариант 5+S=−15 отбрасываем: при S⩾0 скобка положительна. Дробь (5+S)2225 убывает, поэтому v′(S)>0 при 0⩽S<10 и v′(S)<0 при S>10: точка S=10 - максимум.
Считаем и толкуем
v(10)=15450−10=30−10=20
Ответ: наибольшая скорость роста - 20 млн клеток в час при концентрации субстрата 10 г/л; дальше подкормка культуре вредит.
Частые ошибки
Проверь себя
Со знаком какого выражения совпадает знак производной функции C(t)=t2+bat при a>0?
В какой момент концентрация c(t)=Ate−kt наибольшая?
Что верно про g(x)=b+xax при x⩾0 и положительных a, b?
Корень уравнения f′(x)=0 оказался правее допустимого отрезка. Значит:
