Финансовая математика (архив КИМ-2026)

О задании

Задание 16 во второй части ЕГЭ КИМ-2026 - это текстовая задача с экономическим содержанием. Она проверяла умение переводить реальные жизненные ситуации (кредиты, банковские вклады, бизнес-планирование) на язык математики, составлять уравнения или неравенства и решать их. В КИМ-2027 такого номера нет, и в отличие от других выбывших жанров этот разошёлся надвое: тема процентов, вкладов и кредитов перешла в первую часть кратким заданием 13, а развёрнутый формат с исследованием построенной модели - в задание 17. Ни то ни другое не повторяет прежний номер один в один, поэтому конспект оставлен как есть: он сложнее нынешних требований и хорошо ставит технику, но готовиться по нему к конкретному номеру КИМ-2027 нельзя. Все номера заданий в тексте ниже даны по КИМ-2026.

• Формат ответа: Развёрнутое решение с обоснованием каждого шага.
• Уровень сложности: Повышенный.
• Максимальный балл: 2 первичных балла.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ встречаются следующие сюжеты:

1. Кредиты - абсолютный лидер. Делятся на две основные схемы выплат:

   • Аннуитетные платежи (кредит гасится равными суммами).
   • Дифференцированные платежи (долг уменьшается на одну и ту же величину или по заданной таблице).

2. Оптимизация - задачи на поиск наибольшей прибыли или наименьших затрат при производстве или добыче ископаемых.

3. Вклады (редко) - задачи на капитализацию процентов и пополнение счёта.

Основные математические модели

В финансовых задачах критически важно правильно работать с процентами. Если банк начисляет $r \%$ на сумму долга $S$, то новая сумма долга вычисляется умножением на повышающий коэффициент.

Для двух главных схем кредитования существуют свои подходы.

Схема 1: Равные платежи (аннуитет) Кредит гасится одинаковыми переводами (пусть платеж равен $X$). Динамика долга выглядит так:

• 1 год: $(S \cdot k) - X$
• 2 год: $((S \cdot k) - X) \cdot k - X = S \cdot k^2 - X \cdot k - X$
• 3 год: $S \cdot k^3 - X \cdot k^2 - X \cdot k - X$

Схема 2: Долг уменьшается равномерно (дифференцированная схема) Слова-маркеры: «долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на предыдущий месяц/год».

В этой схеме остатки долга образуют арифметическую прогрессию с шагом $-\dfrac{S}{n}$, где $n$ - число периодов. На каждый остаток начисляются проценты, сумма которых и есть переплата. Удобнее считать не весь долг целиком, а именно переплату.

Для задач на оптимизацию (максимум прибыли, минимум затрат) нужны инструменты из теории функций.

Общий алгоритм решения

Примеры

Разберём по одному примеру на каждую из трёх типовых тем: кредит с равными платежами, кредит с равномерным уменьшением долга и оптимизационную задачу.

Пример 1. Схема с равными платежами

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
• кредит должен быть полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года). Известно, что общая сумма выплат банку составила $3\,993\,000$ рублей. Какую сумму планировалось взять в кредит?

Пример 2. Схема с равномерным уменьшением долга

В июле 2026 года планируется взять кредит на $1\,500$ тыс. рублей на $15$ месяцев. Условия возврата таковы:

• $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• $15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца;
• к $15$-му числу $15$-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите $r$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит $1\,860$ тыс. рублей.

Пример 3. Задача на оптимизацию

Строительство нового завода стоит $75$ млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции на этом заводе равны $0{,}5x^2 + 4x + 7$ млн рублей в год. Если продукцию продавать по $p$ тыс. рублей за единицу, то годовая прибыль фирмы составит $\Pi(x) = px - (0{,}5x^2 + 4x + 7)$ млн рублей.

Каждый год фирма будет выпускать такой объём продукции, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем целом значении $p$ строительство завода окупится не более чем за $3$ года?

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

За что дают баллы

В этом задании очень щедрые критерии оценивания, которые позволяют получить баллы даже при плохом счёте.

• 2 балла - ставится за полностью верное решение с правильным ответом. Все шаги логически обоснованы, математическая модель построена верно.
• 1 балл - ставится, если верно построена математическая модель (записано правильное уравнение или система уравнений, связывающая все данные задачи), но дальше допущена обидная вычислительная ошибка, либо уравнение просто не дорешано до конца.
• 0 баллов - если модель не построена, или допущена ошибка в логике (например, перепутана схема кредитования).

Это означает, что написать таблицу или составить исходное уравнение нужно в любом случае! Даже если ты видишь, что не успеваешь досчитать эти огромные числа, оставь правильное уравнение на чистовике - это принесёт тебе 1 балл.

Проверь себя

1. Кредит гасится равными платежами. Какое уравнение описывает полное погашение за $n$ периодов (платёж $X$, коэффициент $k$)?
   • $S \cdot k^n - X \cdot \dfrac{k^n - 1}{k - 1} = 0$
   • $S \cdot k^n - n X = 0$
   • $S \cdot k^{n-1} - X \cdot \dfrac{k^n - 1}{k - 1} = 0$
2. В условии сказано: «долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на предыдущий месяц». Какая это схема?
   • Аннуитет: выплаты каждый месяц одинаковые
   • Дифференцированная: остатки долга образуют арифметическую прогрессию, выплаты уменьшаются
   • Схема с капитализацией: долг растёт по геометрической прогрессии без выплат
3. Кредит $S$ взят на $n$ периодов по ставке $r\%$ по дифференцированной схеме. Чему равна общая переплата?
   • $\dfrac{r}{100} \cdot S \cdot \dfrac{n+1}{2}$
   • $\dfrac{r}{100} \cdot S \cdot n$
   • $\dfrac{r}{100} \cdot S \cdot \dfrac{n-1}{2}$
4. Прибыль задана функцией $\Pi(x) = -0{,}5x^2 + 6x - 3$. При каком $x$ она наибольшая?
   • $x = 6$
   • $x = -6$
   • $x = 3$

Проверить