Вписанные окружности

Суть темы

В задании 1 ЕГЭ по математике проверяется базовое знание планиметрии. Тема «Вписанные окружности» встречается не очень часто, но если попадается, то решается в 1-2 действия. Главная сложность здесь - терминология.

Часто происходит путаница: кто в кого вписан? Если окружность вписана в многоугольник, значит, она находится внутри него и касается всех его сторон. Сам многоугольник при этом называется описанным около окружности.

Для успешного решения задач этого типа не нужно строить сложные чертежи или искать подобия. Достаточно знать несколько ключевых свойств касательных и два соотношения для радиуса.

Основные формулы

Вся теория по этой теме строится на одном фундаментальном факте о касательных.

Из этого свойства вытекает главное правило для четырёхугольников, которое применяется в большинстве задач подтемы:

Для задач на треугольник пригодятся два соотношения - связь радиуса с площадью и специальная формула для прямоугольного треугольника.

Алгоритм решения

Примеры

Разберём типичные задачи, которые встречаются на реальном экзамене, - от самой простой до полноценного ЕГЭ-уровня.

Пример 1. Периметр описанного четырёхугольника

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность. Известно, что $AB = 9$ и $CD = 14$. Найди периметр четырёхугольника $ABCD$.

По условию окружность вписана в четырёхугольник, значит, суммы его противоположных сторон равны:

$$AB + CD = BC + AD$$

Найдём эту сумму для известных сторон:

$$AB + CD = 9 + 14 = 23$$

Вторая пара сторон даёт такую же сумму, поэтому периметр равен удвоенной сумме:

$$P = (AB + CD) + (BC + AD) = 23 + 23 = 46$$

Ответ: $46$

Пример 2. Неизвестная сторона через периметр

Периметр четырёхугольника, описанного около окружности, равен $48$. Две его стороны равны $9$ и $16$. Найди бо́льшую из двух оставшихся сторон.

Пример 3. Отрезки касательных в треугольнике

Окружность вписана в треугольник $ABC$, периметр которого равен $34$. Точка касания на стороне $AB$ делит её на отрезки $AM = 4$ и $MB = 8$. Найди сторону $AC$.

Пример 4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника

Катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$. Найди радиус вписанной в него окружности.

Частые ошибки

Что запомнить

1. Вписанная окружность лежит внутри фигуры и касается всех её сторон.
2. Отрезки касательных из одной точки к окружности равны.
3. В описанном четырёхугольнике: $a + c = b + d = \dfrac{P}{2}$.
4. Для любого многоугольника: $S = p \cdot r$, где $p$ - полупериметр.
5. Для прямоугольного треугольника: $r = \dfrac{a + b - c}{2}$ (где $c$ - гипотенуза).
6. Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. В четырёхугольник вписана окружность, $AB = 7$, $CD = 11$. Чему равен периметр четырёхугольника?
   • $36$
   • $18$
   • $28$
   • Нельзя определить по этим данным
2. Катеты прямоугольного треугольника равны $6$ и $8$. Чему равен радиус вписанной окружности?
   • $2$
   • $4$
   • $5$
   • $3$
3. Что означает $p$ в формуле $S = p \cdot r$?
   • Периметр
   • Полупериметр
   • Половина большей стороны
   • Произведение сторон
4. Где лежит центр окружности, вписанной в треугольник?
   • В точке пересечения биссектрис
   • В точке пересечения серединных перпендикуляров
   • В точке пересечения медиан
   • В точке пересечения высот

Проверить