Угол между прямой и плоскостью

Пункт а: строим перпендикуляр и проекцию

1. Точка $K$ - середина ребра $AC$. Проведи отрезок $MK$. Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию. Отрезок $MK$ - средняя линия прямоугольника $ACC_1A_1$ (соединяет середины двух противоположных сторон), значит $MK \parallel AA_1$ и $MK = AA_1 = 2$. Поэтому $MK \perp$ плоскости $ABC$.
2. Отрезок $BK$ - проекция наклонной $BM$ на плоскость $ABC$ (точка $B$ лежит в плоскости, $K$ - основание перпендикуляра из $M$).

Пункт а: применяем теорему о трёх перпендикулярах

1. В правильном $\triangle ABC$ отрезок $BK$ - медиана к стороне $AC$, а значит, и высота: $BK \perp AC$.
2. По теореме о трёх перпендикулярах: проекция $BK$ перпендикулярна $AC$ в основании, следовательно, и наклонная $BM$ перпендикулярна $AC$. Ч.т.д.

Пункт б: находим искомый угол и катеты

1. Поскольку $MK \perp (ABC)$, точка $K$ - проекция точки $M$ на плоскость основания. Проекция прямой $BM$ на основание - отрезок $BK$. Значит, искомый угол - это $\angle MBK$ в прямоугольном $\triangle BKM$ ($\angle K = 90^\circ$).
2. Катет $MK$ равен длине бокового ребра: $MK = 2$.
3. Катет $BK$ - высота правильного треугольника $ABC$ со стороной $2$:

Пункт б: вычисляем тангенс угла

1. Тангенс искомого угла:

2. Значение не табличное, ответ записываем через арктангенс.

Ответ: б) $\arctg \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.

Выбираем метод

Плоскость $SAC$ в правильной пирамиде является плоскостью симметрии. Строить перпендикуляр из точки $K$ на неё классически трудоёмко, поэтому применим метод координат.

Пункт а: доказываем перпендикулярность прямой и плоскости

1. В основании лежит квадрат $ABCD$, его диагонали взаимно перпендикулярны: $BD \perp AC$.
2. Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания, значит, перпендикулярна любой прямой в ней. Следовательно, $BD \perp SO$.
3. Прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $SO$, лежащим в плоскости $SAC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем $BD \perp (SAC)$. Ч.т.д.

Пункт б: вводим координаты и находим точки

1. Пункт «а» уже даёт удобную ось: диагональ $BD$ перпендикулярна плоскости $SAC$, поэтому если направить ось $Ox$ вдоль $BD$, то нормалью к $SAC$ станет орт оси $Ox$.
2. Помести начало координат в центр основания $O$. Ось $Ox$ направь вдоль луча $OD$, ось $Oy$ - вдоль луча $OC$, ось $Oz$ - вдоль высоты $OS$.
3. Диагональ квадрата со стороной $6$ равна $6\sqrt{2}$, её половина $OA = OB = OC = OD = 3\sqrt{2}$.
4. Координаты вершин основания: $A(0;\, -3\sqrt{2};\, 0)$, $\quad B(-3\sqrt{2};\, 0;\, 0)$, $\quad C(0;\, 3\sqrt{2};\, 0)$, $\quad D(3\sqrt{2};\, 0;\, 0)$.
5. Найди высоту пирамиды $SO$ из прямоугольного $\triangle SOC$ (угол при $O$ прямой):

Тогда $S(0;\, 0;\, 6)$. 6. Точка $K$ делит $SC$ в отношении $SK:KC = 1:2$, считая от $S$. Значит, $\vec{SK} = \dfrac{1}{3}\vec{SC}$. Вычисли:

Пункт б: находим векторы и синус угла

1. Направляющий вектор прямой $BK$:

Длина вектора:

2. Вектор нормали к плоскости $SAC$. Плоскость $SAC$ содержит оси $Oy$ и $Oz$ (точки $A$, $C$ лежат на оси $Oy$, точка $S$ - на оси $Oz$). Значит, это плоскость $x = 0$ и вектор нормали $\vec{n} = (1;\, 0;\, 0)$, $|\vec{n}| = 1$.
3. Подставь в формулу синуса:

4. По табличному значению $\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому $\phi = 45^\circ$.

Ответ: б) $45^\circ$.