Комбинации тел

Комбинации тел (Стереометрия)

Задание 3 в ЕГЭ проверяет знание базовой стереометрии. В подтеме «Комбинации тел» тебе предстоит работать с фигурами, которые вложены друг в друга: вписаны или описаны. Здесь редко нужны сложные вычисления. Главный секрет успеха - найти связь между измерениями двух фигур (радиусами, высотами, рёбрами), а её почти всегда удобнее всего увидеть на осевом сечении.

Основные формулы и связи параметров

Чтобы не выводить зависимости каждый раз с нуля, полезно понимать и помнить, как связаны параметры фигур в стандартных комбинациях. В каждом случае ключевой инструмент - осевое сечение, на плоском чертеже сразу видно, какие отрезки равны.

Алгоритм решения

В задачах первой части на комбинации тел почти всегда работает один и тот же подход.

Примеры решения задач

Разберём три задачи от самой простой до той, где нужна теорема Пифагора в осевом сечении.

Пример 1. Конус и цилиндр

Условие: Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен $42$. Найди объём конуса.

Пример 2. Цилиндр в параллелепипеде

Условие: Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания цилиндра равен $3$, а высота цилиндра равна $5$. Найди объём параллелепипеда.

Пример 3. Шар, вписанный в цилиндр

Условие: Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна $24$. Найди площадь полной поверхности цилиндра.

Частые ошибки

Что запомнить

• Шар вписан в цилиндр $\Rightarrow H = 2R$, площади и объёмы двух фигур относятся как $2:3$ (шар меньше).
• Конус и цилиндр с общим основанием и высотой $\Rightarrow V_{\text{цил}} = 3 V_{\text{кон}}$.
• Цилиндр вписан в параллелепипед $\Rightarrow$ в основании квадрат, $a = 2R$.
• Цилиндр вписан в шар $\Rightarrow R_{\text{ш}}^2 = R^2 + (H/2)^2$ по теореме Пифагора в осевом сечении.
• В задачах на комбинации тел почти всегда удобнее работать с блоком ($\pi R^2$, $\pi R^3$), а не с самим радиусом.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Шар вписан в цилиндр. Как связаны высота цилиндра $H$ и радиус шара $R$?
   • $H = 2R$
   • $H = R$
   • $H = \dfrac{R}{2}$
   • $H = \pi R$
2. Конус и цилиндр имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен $7$. Чему равен объём цилиндра?
   • $21$
   • $7$
   • $\dfrac{7}{3}$
   • $14$
3. Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Что обязательно лежит в основании параллелепипеда?
   • квадрат со стороной $2R$
   • произвольный прямоугольник
   • квадрат со стороной $R$
   • круг радиуса $R$
4. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна $16$. Чему равна площадь полной поверхности цилиндра?
   • $24$
   • $32$
   • $16$
   • $48$

Проверить