Описанные окружности и треугольники

Находим площадь по формуле Герона

Полупериметр:

Применяем формулу радиуса через стороны и площадь

Применим формулу $R = \dfrac{abc}{4S}$:

Ответ: $R = \dfrac{65}{8} = 8{,}125$.

Пункт а. Точка M равноудалена от вершин

1. По условию $AM = MC$ (так как $M$ - середина) и $BM = \dfrac{1}{2} AC = AM = MC$.
2. Значит, точка $M$ равноудалена от трёх вершин: $MA = MB = MC$.

Пункт а. M - центр описанной окружности, AC - диаметр

3. По свойству описанной окружности точка, равноудалённая от всех вершин треугольника, - это её центр. Значит, $M$ - центр окружности, описанной около $\triangle ABC$.
4. Центр описанной окружности лежит на стороне треугольника только в одном случае - когда эта сторона является диаметром, то есть когда противолежащий ей угол прямой.
5. Центр $M$ лежит на стороне $AC$, значит $AC$ - диаметр описанной окружности, а $\angle ABC = 90^\circ$ как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Ч.т.д.

Пункт б. Гипотенуза и радиус

1. Из доказанного в пункте «а» треугольник прямоугольный, $AC$ - гипотенуза. По теореме Пифагора:

2. Для прямоугольного треугольника гипотенуза является диаметром описанной окружности, поэтому:

Ответ: б) $R = 5$.

Пункт а. Чертёж и параллелограмм BHCA'

Для тупого угла $A$ и ортоцентр $H$, и центр $O$ лежат вне треугольника - аккуратно учти это на чертеже. Обозначь $M_a$ - середина $BC$.

1. $AO = R$ по определению центра описанной окружности.
2. Докажем ключевое равенство $AH = 2 \cdot OM_a$. Возьми точку $A'$, диаметрально противоположную $A$ на описанной окружности. Вписанные углы $\angle ABA'$ и $\angle ACA'$ опираются на диаметр $AA'$, значит оба равны $90^\circ$: $BA' \perp AB$ и $CA' \perp AC$. Высота $CN \perp AB$ и высота $BM \perp AC$ по определению. Из двух перпендикуляров к одной прямой: $BA' \parallel CH$ и $CA' \parallel BH$. Получаем параллелограмм $BHCA'$. Его диагонали $BC$ и $HA'$ делятся точкой пересечения пополам, значит $M_a$ (середина $BC$) одновременно середина $HA'$.

Пункт а. Средняя линия и вывод AH = AO

3. В $\triangle AHA'$ точка $O$ - середина $AA'$ (середина диаметра), $M_a$ - середина $HA'$ (по шагу 2). Значит, $OM_a$ - средняя линия, параллельная $AH$:

4. По формуле расстояния от центра до стороны $OM_a = R \cdot |\cos A|$. При $\angle A = 120^\circ$ имеем $|\cos A| = \dfrac{1}{2}$, и $AH = 2R \cdot \dfrac{1}{2} = R$.
5. Из шагов 1 и 4: $AH = R = AO$. Ч.т.д.

Пункт б. Находим радиус по теореме синусов

1. Найдём $\angle C$ в $\triangle ABC$. Сумма углов равна $180^\circ$:

2. Найдём радиус $R$ по теореме синусов. Сторона $BC$ лежит напротив угла $A$:

Из пункта «а» $AH = AO = R = 1$.

Пункт б. Считаем площадь через основание и высоту

1. Посчитаем площадь $\triangle AHO$ через основание и высоту. Прямая $AH$ - это высота из $A$, поэтому $AH \perp BC$. Длина перпендикуляра из $O$ на прямую $AH$ равна расстоянию $PM$ вдоль $BC$ между точкой $P$ (основание высоты из $A$) и точкой $M$ (середина $BC$, проекция $O$, так как $OM$ - серединный перпендикуляр к хорде $BC$).
2. В прямоугольном $\triangle ABP$ катет $BP = AB \cos B = 2R \sin C \cos B$, а $BM = \dfrac{BC}{2} = R \sin A$. Раскрыв $\sin A = \sin(B + C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$, получаем:

3. Подставим: $R = 1$, $|\angle B - \angle C| = 30^\circ$, значит высота из $O$ равна $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$. Площадь:

Ответ: б) $\dfrac{1}{4}$.