Геометрический смысл производной, касательная

Суть темы

В задании 9 профильного ЕГЭ самая частая подтема -- геометрический смысл производной. Тебе дают график функции с проведённой касательной и просят найти $f'(x_0)$. Формулу функции знать не нужно: вся информация уже нарисована.

Производная в точке показывает скорость изменения функции. На графике эта скорость равна наклону касательной -- прямой, которая «прилипает» к графику в окрестности точки касания.

Основные формулы и факты

Вся теория строится на одном равенстве, связывающем производную и наклон касательной.

Уравнение любой прямой, в том числе касательной, имеет вид $y = kx + b$. Коэффициент $k$ отвечает за наклон, и именно он равен производной в точке касания.

Знак производной жёстко связан с направлением касательной:

• касательная идёт вверх (слева направо) $\implies$ угол $\alpha$ острый $\implies \tg\alpha > 0 \implies f'(x_0) > 0$;
• касательная идёт вниз $\implies$ угол $\alpha$ тупой $\implies \tg\alpha < 0 \implies f'(x_0) < 0$;
• касательная горизонтальна $\implies \alpha = 0^\circ \implies \tg\alpha = 0 \implies f'(x_0) = 0$ (это точка экстремума).

Проверь все три случая на одной параболе:

Алгоритм решения

На ЕГЭ график и касательная уже нарисованы. Твоя задача -- аккуратно снять наклон через прямоугольный треугольник.

Примеры решения

Ниже -- четыре типа задач: чтение графика с положительной и отрицательной касательной, обратная задача про параллельные прямые и составление уравнения касательной по формуле.

Пример 1. Положительная производная

Условие: На рисунке изображены график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Пример 2. Отрицательная производная

Условие: На рисунке изображены график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Помимо чтения готового графика, задание 9 иногда проверяет обратную задачу: найти точку, в которой касательная имеет заданный наклон.

Пример 3. Параллельная прямая

Условие: Прямая $y = 3x - 4$ параллельна касательной к графику функции $y = x^2 - 5x + 7$. Найдите абсциссу точки касания.

Пример 4. Уравнение касательной

Условие: Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 3x + 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.

Частые ошибки

Вот что происходит, если взять две точки на кривой:

Что запомнить

• Производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси $X$.
• Касательная вверх -- плюс, вниз -- минус, горизонтальна -- ноль.
• Наклон считается по двум жирным точкам на касательной: $\dfrac{\text{клетки по вертикали}}{\text{клетки по горизонтали}}$.
• Параллельные прямые имеют равные $k$, значит, равны и производные в соответствующих точках.
• Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Касательная к графику функции идёт слева направо вниз. Что можно сказать о $f'(x_0)$ в точке касания?
   • $f'(x_0) < 0$
   • $f'(x_0) > 0$
   • $f'(x_0) = 0$
2. Чему равна производная $f'(x_0)$, если касательная проходит через точки $(-2;\, 1)$ и $(2;\, 4)$?
   • $0{,}75$
   • $1{,}25$
   • $\dfrac{4}{3}$
3. Прямая $y = 5x + 2$ параллельна касательной к графику $f(x)$. Чему равно $f'(x_0)$ в точке касания?
   • $5$
   • $2$
   • $7$
4. Касательная к графику функции горизонтальна. Чему равен тангенс угла её наклона?
   • $0$
   • $1$
   • Не определён

Проверить