Проценты и доли в реальных ситуациях

Проценты и доли в реальных ситуациях (Задание 13)

Задание 13 - короткая задача на моделирование реальной ситуации, и чаще всего ситуация денежная: зарплата и налог, цена и скидка, семейный бюджет, тариф и счёт за электричество. В бланк уходит одно число, развёрнутое решение не пишется, времени по спецификации - 10 минут. Поэтому здесь ценится не длинная выкладка, а умение за один-два шага перевести слова условия в множители и перемножить их.

Процент как множитель

Считать «сколько процентов», а потом отдельно прибавлять или вычитать - долго и опасно. Быстрее сразу перевести изменение в множитель и забыть про знак процента до самого ответа.

Несколько изменений подряд: множители перемножаются

Если величина меняется два раза, второй процент берётся уже от нового числа, а не от исходного. На языке множителей это одна строчка.

На сколько процентов изменилась величина

Вопрос «на сколько процентов» - это всегда отношение к исходному, а не разность в рублях.

Например, цена за два года выросла сначала на $10\%$, потом на $20\%$. Итоговый множитель $1{,}1 \cdot 1{,}2 = 1{,}32$, значит рост составил $32\%$, а не $30\%$.

Доли от целого и доли от остатка

Самая частая ловушка слота: в условии подряд идут два процента, и целое между ними меняется. Формулировки-маркеры - «от суммы, оставшейся после…», «остальное», «оставшуюся часть».

• «$30\%$ дохода на аренду» - процент от дохода.
• «$40\%$ от остатка на еду» - процент от того, что осталось, то есть от $70\%$ дохода.
• «остальное вложила в облигации» - это тоже доля, равная $1$ минус все названные доли.

Обратный ход: величина «до» по величине «после»

Если известен результат, а спрашивают исходное число, множитель работает в обратную сторону - делением.

Когда меняются оба сомножителя

Счёт за электричество - это тариф, умноженный на объём. Зарплатный фонд - ставка, умноженная на число сотрудников. Если меняются оба сомножителя, итоговый множитель - произведение их множителей.

Алгоритм решения

Примеры решения

Пример 1. Налог: найти начисленное по полученному

Условие: С заработной платы удерживается налог на доходы физических лиц по ставке $13\%$. На банковский счёт сотруднику поступило $69\,600$ рублей. Какова его заработная плата до удержания налога?

Пример 2. Наценка и скидка подряд

Условие: Куртка стоила $12\,000$ рублей. В октябре цену подняли на $15\%$, а в феврале снизили на $20\%$ от новой цены. Сколько рублей стала стоить куртка после двух изменений?

Пример 3. Доля от остатка

Условие: Ежемесячный доход семьи составляет $120\,000$ рублей. На жильё и коммунальные платежи уходит $35\%$ дохода, а на питание - $40\%$ от суммы, оставшейся после оплаты жилья. Сколько рублей остаётся у семьи после этих двух статей расходов?

Пример 4. Тариф и расход меняются одновременно

Условие: В прошлом году семья расходовала $300$ кВт·ч электроэнергии в месяц по тарифу $5$ рублей за кВт·ч. В этом году тариф вырос на $8\%$, но семья снизила потребление до $250$ кВт·ч в месяц. На сколько рублей уменьшился ежемесячный счёт за электроэнергию?

Пример 5. Сумма разделена на части с разными ставками

Условие: Мария распределила $200\,000$ рублей: $60\%$ суммы вложила в акции, а остальное - в облигации. За год акции подорожали на $25\%$, а облигации принесли $10\%$ дохода. Сколько рублей стоят вложения Марии через год?

Частые ошибки

Что запомнить

Проверь себя

1. Цена выросла на $25\%$, а затем упала на $20\%$. Как в итоге изменилась цена?
   • Не изменилась
   • Выросла на $5\%$
   • Упала на $5\%$
   • Выросла на $1\%$
2. После скидки $20\%$ товар стоит $6\,000$ рублей. Сколько он стоил до скидки?
   • $7\,500$
   • $7\,200$
   • $4\,800$
   • $7\,000$
3. Доход $50\,000$ рублей. $20\%$ уходит на транспорт, затем $25\%$ от остатка - на связь. Сколько рублей остаётся?
   • $30\,000$
   • $27\,500$
   • $22\,500$
   • $32\,500$
4. На счёт после удержания налога $13\%$ поступило $43\,500$ рублей. Сколько было начислено?
   • $50\,000$
   • $49\,155$
   • $48\,500$
   • $51\,000$

Проверить