Задание 1 открывает первую часть профильного ЕГЭ по математике. Оно проверяет базовые знания геометрии на плоскости: умение работать с углами, вычислять площади и применять основные свойства фигур.
Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Базовый.
Максимальный балл: 1 первичный балл.
Какие темы встречаются
На ЕГЭ можно встретить задачи нескольких типов, самые частые из них:
Углы и окружности - центральные и вписанные углы, хорды, касательные, вписанные и описанные многоугольники.
Треугольники - прямоугольные (особенно свойства медианы и биссектрисы), равнобедренные и треугольники общего вида.
Четырёхугольники - параллелограммы, ромбы, трапеции, вычисление их площадей и углов.
Основные формулы и факты
Для успешного решения первого задания нужно держать в голове базовые теоремы.
Общий алгоритм решения
Примеры решения
Разберём две типичные задачи из разных подтем.
Пример 1. Вписанные углы
Условие:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 98∘, угол CAD равен 44∘. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Находим дугу ADC
В этой задаче удобнее всего работать с дугами окружности.
Угол ABC - вписанный. Он опирается на дугу ADC. Значит, дуга ADC в два раза больше угла:
ADC⌢=2⋅98∘=196∘
Находим дугу CD
Угол CAD - вписанный. Он опирается на дугу CD. Значит, дуга CD равна:
CD⌢=2⋅44∘=88∘
Находим дугу AD
Дуга ADC состоит из двух дуг: AD и CD. Найдём градусную меру дуги AD:
AD⌢=ADC⌢−CD⌢=196∘−88∘=108∘
Находим угол ABD
Нас просят найти угол ABD. Он является вписанным и опирается как раз на дугу AD. Значит, он равен половине этой дуги:
∠ABD=2108∘=54∘
В бланк ответов записываем число без знака градусов.
Пример 2. Площади и высоты
Условие:
Стороны параллелограмма равны 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 18. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
Записываем площадь двумя способами
Используем формулу площади параллелограмма S=a⋅ha, где a - сторона, а ha - проведённая к ней высота.
Площадь фигуры не меняется от того, какую сторону выбрать в качестве основания. Запишем площадь двумя способами и приравняем их:
a⋅ha=b⋅hb
Подставляем известные значения
Подставим известные значения. Меньшая сторона a=24, высота к ней ha=18. Большая сторона b=27, высоту к ней hb нужно найти:
24⋅18=27⋅hb
Вычисляем высоту
Выразим неизвестную высоту:
hb=2724⋅18
Сократим дробь на 9:
hb=324⋅2
Сократим на 3:
hb=8⋅2=16
Частые ошибки
Стратегия на экзамене
Проверь себя
Вписанный угол опирается на дугу 80∘. Чему равен этот угол?
Вписанный угол опирается на диаметр. Чему он равен?
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26. Чему равна медиана, проведённая к гипотенузе?
Стороны параллелограмма равны 10 и 15, высота к стороне 10 равна 6. Чему равна высота к стороне 15?
