Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу (Задание 11)

Задание 11 проверяет умение переводить текст условия в уравнение. Задачи на совместную работу - один из самых частых сюжетов: трубы наполняют бассейн, рабочие выполняют заказ, насосы качают воду. Приёмы те же, что и в задачах на движение: вместо расстояния - объём работы, вместо скорости - производительность.

1. Суть темы

Любая задача о работе строится вокруг трёх величин:

Работа ( $A$ ) - что делается. Детали, литры, грядки, заказы.
Время ( $t$ ) - как долго делается. Минуты, часы, дни.
Производительность ( $p$ ) - сколько работы делается за единицу времени (аналог скорости).

Главный приём темы: если объём работы не назван в условии конкретным числом, принимай его за единицу. Тогда производительность одного работника равна $\dfrac{1}{t}$ - доле всей работы, которую он выполняет за одну единицу времени.

Вторая ключевая идея: при совместной работе складываются производительности, а не времена. Если два насоса льют воду в один бак, каждую минуту прибывает сумма их минутных подач.

2. Основные формулы

3. Табличный метод

В текстовой задаче легко запутаться в буквах. Таблица - главный рабочий инструмент: один столбец для производительности, один для времени, один для работы. По каждому работнику - своя строка.

Пустой шаблон таблицы для задач на работу:

Кто	Производительность $p$	Время $t$	Работа $A$
Первый	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$
Второй	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$
Вместе	$p_1 + p_2$	$\dfrac{A}{p_1 + p_2}$	$A$

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения

Введи переменную. За $x$ возьми то, что просят найти, или ту величину, через которую легче выразить остальные (обычно производительность или время одного работника).
Заполни столбец работы $A$ . Если дан конкретный объём - впиши число. Если нет - поставь $1$ в каждую строку.
Заполни производительности. Либо они известны из условия, либо выражаются через $x$ .
Вырази время. Используй $t = \dfrac{A}{p}$ - просто дроби, без новых букв.
Составь уравнение. В условии всегда есть связь: один работал на столько-то часов дольше, вместе справились за такое-то время, сделали такую-то часть работы. Переведи эту связь в равенство.
Реши и проверь вопрос. Найди корень, отбрось отрицательный, сверься с тем, что именно спрашивают в задаче.

4. Примеры решения

Пример 1. Двое вместе, работа абстрактная

Условие: Первый маляр красит забор за $15$ часов, а второй - за $10$ часов. За сколько часов они покрасят забор, работая вместе?

Принимаем работу за единицу и заполняем таблицу

Объём работы не задан - берём весь забор за $A = 1$ .

Маляр	$p$ (забора/час)	$t$ (час)	$A$
Первый	$\dfrac{1}{15}$	$15$	$1$
Второй	$\dfrac{1}{10}$	$10$	$1$
Вместе	$\dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{10}$	$?$	$1$

Складываем производительности

Складываем производительности, приводя к общему знаменателю $30$ :

p_{\text{общ}} = \frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{2}{30} + \frac{3}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}

Находим время совместной работы

Значит, вместе маляры красят $\dfrac{1}{6}$ забора в час. Время совместной работы:

t_{\text{общ}} = \frac{1}{\,1/6\,} = 6

Ответ: $6$

Пример 2. Трое, разные единицы времени

Условие: Первый насос наполняет бак за $12$ минут, второй - за $15$ минут, третий - за $1$ час. За сколько минут наполнят этот бак три насоса, работая одновременно?

Приводим время к одним единицам

Время дано в разных единицах - сразу переводим всё в минуты: $1$ час $= 60$ мин.

Насос	$p$ (бака/мин)	$t$ (мин)	$A$
Первый	$\dfrac{1}{12}$	$12$	$1$
Второй	$\dfrac{1}{15}$	$15$	$1$
Третий	$\dfrac{1}{60}$	$60$	$1$
Вместе	$p_1 + p_2 + p_3$	$?$	$1$

Складываем производительности

Общий знаменатель $60$ :

p_{\text{общ}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{60} = \frac{5}{60} + \frac{4}{60} + \frac{1}{60} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}

Находим время совместной работы

t_{\text{общ}} = \frac{1}{\,1/6\,} = 6

Ответ: $6$

Пример 3. Найти время одного по совместному

Условие: Работая вдвоём, Аня и Боря пропалывают огород за $20$ минут. Одна Аня тратит на этот огород $36$ минут. За сколько минут Боря пропалывает огород в одиночку?

Вводим переменную и заполняем таблицу

Вся работа - один огород, $A = 1$ . За $x$ возьмём время, которое тратит Боря один. Тогда его производительность $\dfrac{1}{x}$ .

Кто	$p$ (огорода/мин)	$t$ (мин)	$A$
Аня	$\dfrac{1}{36}$	$36$	$1$
Боря	$\dfrac{1}{x}$	$x$	$1$
Вместе	$\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{x}$	$20$	$1$

Составляем уравнение

Производительность при совместной работе равна $\dfrac{1}{20}$ (один огород за $20$ минут). Получаем уравнение:

\frac{1}{36} + \frac{1}{x} = \frac{1}{20}

Решаем уравнение

Выражаем $\dfrac{1}{x}$ :

\frac{1}{x} = \frac{1}{20} - \frac{1}{36}

Общий знаменатель - $180$ :

\frac{1}{x} = \frac{9}{180} - \frac{5}{180} = \frac{4}{180} = \frac{1}{45}

Значит, $x = 45$ .

Проверяем

Проверка: $\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{45} = \dfrac{5}{180} + \dfrac{4}{180} = \dfrac{9}{180} = \dfrac{1}{20}$ . Сходится.

Ответ: $45$

Пример 4. Ступенчатая работа

Условие: Первый рабочий выполняет заказ за $10$ часов, а второй - за $15$ часов. Сначала первый трудился один $4$ часа, а затем к нему присоединился второй. За сколько часов они вместе закончили оставшуюся часть заказа?

Пример 5. Классика с квадратным уравнением

Условие: Первая труба пропускает на $5$ литров в минуту больше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом $750$ литров она заполняет на $5$ минут быстрее второй?

Вводим переменную и заполняем таблицу

Здесь объём работы задан в литрах, $A = 750$ . Обозначим за $x$ производительность первой трубы (её и просят найти). Тогда вторая труба даёт $x - 5$ л/мин.

Труба	$p$ (л/мин)	$t$ (мин)	$A$ (л)
Первая	$x$	$\dfrac{750}{x}$	$750$
Вторая	$x - 5$	$\dfrac{750}{x - 5}$	$750$

Составляем уравнение

Первая труба заполняет быстрее, значит её время меньше. Разница времён:

\frac{750}{x - 5} - \frac{750}{x} = 5

Разделим обе части на $5$ , чтобы упростить числа:

\frac{150}{x - 5} - \frac{150}{x} = 1

Приводим к квадратному уравнению

Приводим к общему знаменателю $x(x - 5)$ :

\frac{150x - 150(x - 5)}{x(x - 5)} = 1

\frac{150x - 150x + 750}{x^2 - 5x} = 1

\frac{750}{x^2 - 5x} = 1

Знаменатель $x(x - 5) \neq 0$ (производительность положительна и больше $5$ ), поэтому:

x^2 - 5x - 750 = 0

Решаем квадратное и отбираем корень

Дискриминант: $D = 25 + 4 \cdot 750 = 3025 = 55^2$ . Корни:

x = \frac{5 \pm 55}{2}

Положительный корень $x = 30$ . Отрицательный $-25$ отбрасываем - производительность не бывает отрицательной.

Проверка: первая труба $-$ $30$ л/мин, вторая $-$ $25$ л/мин. Время первой $\dfrac{750}{30} = 25$ мин, время второй $\dfrac{750}{25} = 30$ мин. Разница $5$ минут - сходится.

Ответ: $30$

5. Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Складывать времена вместо производительностей

Ошибка: «Первый делает за $2$ часа, второй - за $3$ часа, значит вместе за $2 + 3 = 5$ часов» или «вместе за среднее время, $(2 + 3)/2 = 2{,}5$ ». Почему неверно: вдвоём они должны справляться быстрее любого по отдельности, а не медленнее. Правильно: складываем производительности. $p_{\text{общ}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$ , значит $t = \dfrac{6}{5} = 1{,}2$ часа. И $1{,}2 < 2$ - как и должно быть.

6. Что запомнить

Работа $A$ - аналог пути, производительность $p$ - аналог скорости, формула одна: $A = p \cdot t$ .
Если объём работы не задан числом - бери $A = 1$ , и $p = \dfrac{1}{t}$ .
При совместной работе складываются производительности, а не времена.
Таблица с тремя столбцами ( $p$ , $t$ , $A$ ) - лучший способ не запутаться.
Ступенчатая работа разбирается через доли выполненной работы; остаток делится на совместную производительность.
Перед записью ответа перечитай вопрос: вдруг $x$ - это не то, что просят.

7. Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия для задания 11

Время: $5{-}10$ минут. Это одно из самых алгоритмичных заданий первой части.
Очерёдность: решай в первом проходе вместе с остальной базой. Большинство сюжетов типовые.
Сокращения: если в дробно-рациональном уравнении и числитель, и правая часть делятся на одно и то же число, сократи до приведения к общему знаменателю. В Примере 5 деление на $5$ сэкономило кучу арифметики.
Проверка: подставь найденный корень обратно в таблицу и проверь условие по фактическим временам. На это уходит $30$ секунд, но ловит арифметические ошибки.
Красивый дискриминант: в задачах с квадратным уравнением дискриминант почти всегда полный квадрат. Если корень не извлекается - скорее всего ошибка в составлении уравнения или знаках.

Проверь себя

Первый рабочий выполняет заказ за $6$ часов, второй — за $12$ часов. Какова их совместная производительность (заказа в час)?
Что складывается при совместной работе?
Вдвоём мастера красят забор за $10$ часов, один из них в одиночку — за $15$ часов. За сколько часов справится второй в одиночку?
Если объём работы в условии не задан числом, что удобнее всего принять за объём работы?

Задачи на совместную работу