Смеси и сплавы

Смеси и сплавы (Задание 13)

Смеси, растворы и сплавы попадают в тринадцатый номер как самый «нефинансовый» его сюжет, но работает здесь та же схема, что и в задачах про деньги: одна модель, одно уравнение, в бланк уходит число. Спрашивают почти всегда что-то из пяти: концентрацию получившейся смеси, сколько воды долить, сколько воды выпарить, сколько чистого вещества добавить и какие массы взяли для сплава. Все пять вопросов закрываются одной величиной.

Одна величина, которую надо считать

Проценты - вещь относительная: $20\%$ от $300$ г и $20\%$ от $500$ г - это разные количества соли. Поэтому первым же действием проценты переводят в граммы или килограммы чистого вещества, и дальше вся задача превращается в арифметику с двумя числами: сколько всего и сколько из этого - вещество.

Сюжетов много, а операций над раствором всего четыре. Различаются они только тем, какая из двух масс меняется.

Операция	Масса раствора $M$	Масса вещества $m$
Долили воду	выросла на $x$	не изменилась
Выпарили воду	уменьшилась на $x$	не изменилась
Добавили чистое вещество	выросла на $x$	выросла на тот же $x$
Слили два раствора	$M_1 + M_2$	$m_1 + m_2$

Это «одно действие» стоит записать отдельной формулой - она закрывает половину задач темы.

Куда сдвигается концентрация

Прежде чем считать, полезно понять, в какую сторону поедет ответ. Вода тянет концентрацию к нулю, чистое вещество - к ста процентам, а смешивание двух растворов всегда даёт что-то строго между исходными концентрациями.

Правило рычага

Когда сливают два раствора и все три концентрации известны, массы находятся без уравнения - по пропорции. Приём экономит минуты и на смешивании двух компонентов работает всегда.

Примеры решения

Пять примеров закрывают все пять вопросов номера.

Пример 1. Концентрация смеси

Смешали $4$ кг раствора кислоты концентрации $15\%$ и $6$ кг раствора той же кислоты концентрации $40\%$. Сколько процентов составляет концентрация кислоты в полученной смеси?

Пример 2. Сколько воды долить

Имеется $250$ г раствора соли концентрации $24\%$. Сколько граммов воды нужно долить, чтобы получить $15$-процентный раствор?

Пример 3. Сколько воды выпарить

Из $800$ г раствора, содержащего $7\%$ соли, выпарили часть воды, и концентрация соли поднялась до $10\%$. Сколько граммов воды выпарили?

Пример 4. Сколько чистого вещества добавить

Слиток массой $60$ кг содержит $25\%$ серебра. Сколько килограммов чистого серебра нужно добавить в сплав, чтобы доля серебра в нём стала равна $40\%$?

Пример 5. Массы двух сплавов

Имеются два сплава: в первом $12\%$ меди, во втором $32\%$ меди. Их сплавили и получили $150$ кг сплава с содержанием меди $20\%$. Сколько килограммов первого сплава взяли?

Частые ошибки

Что запомнить

• Первым действием переводи проценты в массу чистого вещества: $m = M \cdot \dfrac{p}{100}$.
• Долили или выпарили воду - $m$ не изменилась, меняется только $M$. Это половина всех задач темы.
• Добавили чистое вещество - $x$ входит и в числитель, и в знаменатель.
• Слили два раствора - складываются обе массы; итоговая концентрация строго между исходными.
• Правило рычага $\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{b - c}{c - a}$ даёт массы без уравнения, когда известны все три концентрации.
• Ответ в номере 13 - целое число или конечная десятичная дробь. Бесконечная периодическая дробь означает ошибку в уравнении.

Проверь себя

1. Из $600$ г раствора с концентрацией соли $4\%$ выпарили $200$ г воды. Какой стала концентрация?
   • $6\%$
   • $4\%$
   • $8\%$
   • $12\%$
2. Смешали равные массы растворов концентрации $10\%$ и $40\%$. Концентрация смеси равна
   • $25\%$
   • $50\%$
   • $30\%$
   • $20\%$
3. Смешали растворы концентрации $10\%$ и $40\%$ и получили $20\%$. Как относятся их массы $m_1 : m_2$?
   • $2 : 1$
   • $1 : 2$
   • $1 : 3$
   • $3 : 1$
4. Что не меняется, когда в раствор доливают чистую воду?
   • масса растворённого вещества
   • концентрация раствора
   • масса раствора
   • масса воды

Проверить