Угол между скрещивающимися прямыми

Содержание

Угол между скрещивающимися прямыми
Суть темы
Основные формулы и методы
Алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Что запомнить
Стратегия на экзамене
За что дают баллы

Угол между скрещивающимися прямыми

Задание 15 проверяет пространственное мышление. Поиск угла между скрещивающимися прямыми - одна из самых частых подзадач этого номера. Плюс темы в том, что она решается двумя способами: классическим (параллельный перенос) и координатным. На экзамене выбирай тот, где выкладки проще.

Суть темы

Скрещивающиеся прямые - это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Они не параллельны и никогда не пересекаются. Представь эстакаду над шоссе: машины едут по двум разным дорогам, которые не пересекаются, но и не идут параллельно.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.

Основные формулы и методы

У задачи два инструмента. Выбор зависит от фигуры.

1. Классический метод (параллельный перенос)

Идея: возьми одну из скрещивающихся прямых и сдвинь её параллельно самой себе так, чтобы она пересекла вторую. Удобно переносить через вершину второй прямой или через середину отрезка.

2. Координатно-векторный метод

Идеально работает в фигурах с прямыми углами: кубах, прямоугольных параллелепипедах, правильных призмах и пирамидах, цилиндрах.

Любая прямая задаётся направляющим вектором - ненулевым вектором, лежащим на прямой или ей параллельным. Для отрезка $MN$ направляющий вектор считается через «конец минус начало»: $\vec{MN} = (x_N - x_M;\, y_N - y_M;\, z_N - z_M)$ .

ВАЖНОЕ

Косинус угла между прямыми через векторы

Пусть прямая $l_1$ имеет направляющий вектор $\vec{l_1} = \{x_1;\, y_1;\, z_1\}$ , а прямая $l_2$ - направляющий вектор $\vec{l_2} = \{x_2;\, y_2;\, z_2\}$ .

Косинус угла $\alpha$ между этими прямыми:

\cos \alpha = \dfrac{|\vec{l_1} \cdot \vec{l_2}|}{|\vec{l_1}| \cdot |\vec{l_2}|} = \dfrac{|x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2|}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}

Модуль в числителе гарантирует, что косинус положителен, а значит, найденный угол $\alpha$ будет острым (или прямым, если числитель равен нулю).

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на скрещивающиеся прямые

Сделай качественный чертёж. Обозначь обе прямые и ключевые точки. Невидимые рёбра - пунктиром.
Оцени фигуру. Куб, цилиндр, параллелепипед - вводи систему координат. Пирамида без прямых углов в основании - ищи параллельный перенос.
Пункт «а» (доказательство). Часто просят доказать перпендикулярность. Инструменты: теорема о трёх перпендикулярах, признак перпендикулярности прямой и плоскости. В координатном методе достаточно показать, что скалярное произведение направляющих векторов равно нулю.
Пункт «б» (вычисление).
- Классика: перенос, треугольник, теорема косинусов.
- Координаты: направляющие векторы, подстановка в формулу.
Запиши ответ. Проверь, просят сам угол ( $\arccos$ ) или только его косинус.

Примеры решения

Первый пример - разгоночный, показывает оба метода на одной задаче. Второй - полный формат ЕГЭ с пунктами «а» и «б» в цилиндре.

Пример 1. Правильная пирамида (два метода)

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ все рёбра равны $2$ . Найдите угол между прямыми $SA$ и $BC$ .

Способ 1. Классический (параллельный перенос)

Правильная пирамида и параллельный перенос BC на AD

В квадрате $ABCD$ противоположные стороны параллельны: $BC \parallel AD$ .
Значит, угол между прямыми $SA$ и $BC$ равен углу между прямыми $SA$ и $AD$ (угол $\angle SAD$ в треугольнике $SAD$ ).
По условию все рёбра равны $2$ : $SA = SD = AD = 2$ . Треугольник $SAD$ равносторонний.
В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$ , значит $\angle SAD = 60^\circ$ .

Способ 2. Координатный: вводим систему координат

Начало координат $O$ - в центре квадрата $ABCD$ . Ось $X$ параллельна $AD$ , ось $Y$ параллельна $AB$ , ось $Z$ - по высоте $SO$ .
При стороне квадрата $2$ координаты вершин: $A(-1;\, -1;\, 0)$ , $B(-1;\, 1;\, 0)$ , $C(1;\, 1;\, 0)$ , $D(1;\, -1;\, 0)$ .
Найдём высоту пирамиды $SO$ . Диагональ квадрата $AC = 2\sqrt{2}$ , значит $OC = \sqrt{2}$ . Из прямоугольного $\triangle SOC$ по теореме Пифагора:

SO = \sqrt{SC^2 - OC^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}

Поэтому $S(0;\, 0;\, \sqrt{2})$ .

Способ 2. Координатный: считаем угол через векторы

Направляющие векторы прямых:
- $\vec{SA} = \{-1 - 0;\, -1 - 0;\, 0 - \sqrt{2}\} = \{-1;\, -1;\, -\sqrt{2}\}$
- $\vec{BC} = \{1 - (-1);\, 1 - 1;\, 0 - 0\} = \{2;\, 0;\, 0\}$
Подставляем в формулу:

\cos \alpha = \dfrac{|(-1) \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + (-\sqrt{2}) \cdot 0|}{\sqrt{1 + 1 + 2} \cdot \sqrt{4}} = \dfrac{2}{2 \cdot 2} = \dfrac{1}{2}

Значит, $\alpha = \arccos \dfrac{1}{2} = 60^\circ$ .

Ответ: $60^\circ$ .

Замечание: Классический здесь короче, но координатный не требует «увидеть» параллельный перенос - формула работает механически.

Пример 2. Скрещивающиеся прямые в цилиндре

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности нижнего основания выбран диаметр $AB$ и точка $C$ , на окружности верхнего основания выбраны точки $A_1$ и $C_1$ , причём $AA_1$ и $CC_1$ - образующие цилиндра. Известно, что $AC = 6$ , $BC = 8$ , $AA_1 = 12$ .

а) Докажите, что прямые $BC$ и $AC_1$ перпендикулярны. б) Найдите косинус угла между прямыми $AC_1$ и $A_1B$ .

Пункт а: доказываем перпендикулярность

Цилиндр с вписанным треугольником и образующими

Точка $C$ лежит на окружности, а $AB$ - её диаметр. По теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр, $\angle ACB = 90^\circ$ , то есть $BC \perp AC$ .
Образующая $CC_1$ перпендикулярна плоскости основания, а $BC$ лежит в этой плоскости. Значит, $CC_1 \perp BC$ .
В точке $C$ пересекаются две прямые $AC$ и $CC_1$ , и обе перпендикулярны $BC$ . Эти прямые лежат в плоскости $ACC_1A_1$ (прямоугольник, составленный из двух образующих и двух хорд $AC$ , $A_1C_1$ ).
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: $BC \perp (ACC_1A_1)$ .
Прямая $AC_1$ - диагональ прямоугольника $ACC_1A_1$ - лежит в этой плоскости. Значит, $BC \perp AC_1$ . Что и требовалось доказать.

Пункт б: вводим координаты

Классический перенос здесь потребует достроений за пределы цилиндра. Прямой угол $\angle ACB = 90^\circ$ - удобная подсказка: вводим координаты.

Цилиндр в системе координат: оси через точку C

Начало координат - в $C(0;\, 0;\, 0)$ . Ось $X$ - вдоль луча $CB$ , ось $Y$ - вдоль луча $CA$ (можно, потому что $CA \perp CB$ ), ось $Z$ - вертикально вверх.
По условию $CB = 8$ , $CA = 6$ , $AA_1 = 12$ . Координаты ключевых точек: $B(8;\, 0;\, 0),\quad A(0;\, 6;\, 0),\quad A_1(0;\, 6;\, 12),\quad C_1(0;\, 0;\, 12)$ .

Пункт б: направляющие векторы

Направляющие векторы скрещивающихся прямых:

$\vec{AC_1} = \{0 - 0;\, 0 - 6;\, 12 - 0\} = \{0;\, -6;\, 12\}$
$\vec{A_1B} = \{8 - 0;\, 0 - 6;\, 0 - 12\} = \{8;\, -6;\, -12\}$

Пункт б: считаем косинус угла

Подставляем в формулу косинуса угла между прямыми (модуль обязателен):

\cos \alpha = \dfrac{|0 \cdot 8 + (-6) \cdot (-6) + 12 \cdot (-12)|}{\sqrt{0 + 36 + 144} \cdot \sqrt{64 + 36 + 144}} = \dfrac{|36 - 144|}{\sqrt{180} \cdot \sqrt{244}}

Упрощаем корни: $\sqrt{180} = 6\sqrt{5}$ , $\sqrt{244} = 2\sqrt{61}$ .

\cos \alpha = \dfrac{108}{6\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{61}} = \dfrac{108}{12\sqrt{305}} = \dfrac{9}{\sqrt{305}} = \dfrac{9\sqrt{305}}{305}

Ответ: б) $\dfrac{9\sqrt{305}}{305}$ .

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забытый модуль в координатном методе

Ошибка: Получить отрицательный косинус (например $-0{,}5$ ) и записать в ответ угол $120^\circ$ . Правильно: Угол между прямыми по определению не может быть тупым. Векторы могут смотреть в разные стороны и образовывать тупой угол, но прямые задают две пары вертикальных углов, из которых в ответ идёт острый. Всегда бери модуль скалярного произведения в числителе: $|-0{,}5| = 0{,}5$ , угол $60^\circ$ .

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неверно определён направляющий вектор

Ошибка: Для прямой $MN$ взять координаты вектора как $\vec{MN} = (x_M + x_N;\, y_M + y_N;\, z_M + z_N)$ - то есть сложить координаты вместо вычитания. Правильно: Направляющий вектор отрезка - это «конец минус начало»: $\vec{MN} = (x_N - x_M;\, y_N - y_M;\, z_N - z_M)$ . Знак итогового косинуса не важен (его съест модуль), но величины координат - принципиально.

Что запомнить

Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.
Угол между ними - это острый угол между параллельными им прямыми, проведёнными через одну точку.
Два метода: параллельный перенос (сложные пирамиды без прямых углов) и координаты (кубы, параллелепипеды, правильные призмы, цилиндры).
Формула: $\cos \alpha = \dfrac{|\vec{l_1} \cdot \vec{l_2}|}{|\vec{l_1}| \cdot |\vec{l_2}|}$ . Модуль обязателен.
Если в основании цилиндра задан треугольник с вершиной на окружности и гипотенузой-диаметром - в этой вершине всегда прямой угол (вписанный угол на диаметр).

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 15

Ориентировочное время: 20-30 минут.
Приоритет: Решай после 13 (уравнения) и 15 (неравенства). Стереометрия требует концентрации и времени на чертёж.
Хитрости оценивания: Пункты «а» и «б» оцениваются независимо. Не получается доказать перпендикулярность в «а», но умеешь посчитать угол в «б» через координаты - считай. За верный «б» без опоры на недоказанный «а» дают 2 балла. За верный «а» + арифметическую ошибку в «б» - 2 балла.
Для круглых тел: В цилиндре и конусе координаты работают прекрасно. Начало ставь либо в центр основания, либо в вершину прямого угла (если такой есть внутри конфигурации - например, вписанный угол на диаметре).
Быстрая проверка: Косинус должен получиться в диапазоне $[0;\, 1]$ . Если получилось $>1$ - ошибка в подсчёте длин векторов. Если $<0$ - забыл модуль.

За что дают баллы

Максимум за задание 15 - 3 первичных балла.

3 балла: Строгое доказательство пункта «а» со ссылками на теоремы и верный обоснованный ответ в пункте «б».
2 балла:
- Пункт «а» доказан верно, логика пункта «б» правильная, но допущена вычислительная ошибка (например, неправильно сложены числа под корнем).
- ИЛИ пункт «б» решён абсолютно верно и обоснованно, а пункт «а» не решался (или решён с фатальной логической ошибкой).
1 балл:
- Идеально доказан только пункт «а».
- ИЛИ в пункте «б» получен правильный ответ с использованием утверждения из пункта «а», при этом сам пункт «а» не доказан.
0 баллов: Решение не содержит верных продвижений (нет доказательства, выбран неверный метод, ошибка в координатах точек, исказившая геометрический смысл). Голый ответ без решения - всегда 0.

Проверь себя

В каком диапазоне лежит угол между скрещивающимися прямыми?
Зачем в формуле $\cos \alpha = \dfrac{|\vec{l_1} \cdot \vec{l_2}|}{|\vec{l_1}| \cdot |\vec{l_2}|}$ стоит модуль в числителе?
Направляющий вектор отрезка $MN$ считается так:
В координатном методе получили $\cos \alpha = -0{,}5$ . Каков угол между прямыми?