Поиск

Задание 5: Вероятности сложных событий

Содержание

О задании

Задание 5 профильного ЕГЭ по математике проверяет умение работать со сложными вероятностями. В отличие от простых задач, где достаточно поделить «подходящие исходы» на «все исходы», здесь работают теоремы сложения и умножения вероятностей.

  • Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
  • Уровень сложности: Повышенный.
  • Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

Все задачи пятого номера можно разделить на несколько типичных сюжетов:

  1. Независимые испытания. Несколько стрелков стреляют по мишеням, несколько ламп горят в люстре, насосы качают воду. Нужно найти вероятность того, что сработают все, не сработает ни один или сработает «хотя бы один».
  2. Формула полной вероятности. Классический сюжет: деталь поступает с одного из двух заводов, или пациент сдаёт тест на заболевание (тест может ошибаться).
  3. Совместные события. Известна вероятность того, что кофе закончится в первом автомате, во втором автомате и в обоих сразу. Нужно найти вероятность того, что кофе останется в обоих.

Основные формулы и правила

Для решения нужно чётко понимать, как события связаны между собой.

Общий алгоритм решения

Примеры решения

Разберём два самых частых типа задач. Располагаем их от простого к сложному.

Пример 1. Независимые события и «хотя бы один»

Условие: В системе пожарной сигнализации установлено три независимых датчика. Вероятность того, что при пожаре отдельный датчик не сработает, равна 0,10{,}1. Найдите вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик.

Пример 2. Формула полной вероятности (дерево)

Условие: Фабрика выпускает стеклянные вазы. В среднем 5 %5\,\% выпущенных ваз имеют скрытый дефект. Перед отправкой в магазин каждая ваза проходит контроль качества. Вероятность того, что система забракует дефектную вазу, равна 0,980{,}98. Вероятность того, что система по ошибке забракует качественную вазу, равна 0,030{,}03. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная ваза будет забракована.

Дерево вероятностей

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

Проверь себя
  1. Чему равна сумма вероятностей события AA и противоположного ему события Aˉ\bar{A}?
  2. События AA и BB независимы. Как найти вероятность того, что произойдут оба события?
  3. Вероятность того, что датчик не сработает, равна 0,20{,}2. Датчиков два, они независимы. Какова вероятность, что сработает хотя бы один?
  4. Когда вероятности событий можно просто складывать: P(A или B)=P(A)+P(B)P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B)?