Описанные окружности

Описанные окружности (Задание 1)

Описанная окружность - это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника. В задании 1 профильного ЕГЭ ты чаще всего встречаешь окружности, описанные около треугольников (реже - около четырёхугольников). Задача обычно сводится к поиску радиуса через данные элементы фигуры: стороны, углы или площадь.

Вся теория строится на одном простом факте: у радиуса есть три разных формулы, и выбор между ними полностью определяется тем, что тебе дали в условии.

Основные формулы

Для успешного решения задач на описанную окружность тебе нужно твёрдо знать три основные формулы.

Алгоритм решения

Когда ты видишь задачу на поиск радиуса описанной окружности, действуй по плану - выбор формулы полностью определяется тем, что дано в условии.

Примеры решения задач

Три задачи ниже идут от простой к составной: первая решается в одно действие, последняя требует связать сразу две формулы площади.

Пример 1. Классическая теорема синусов

В треугольнике $ABC$ известно, что угол $A$ равен $30^\circ$, а противолежащая ему сторона $BC$ равна $12$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Пример 2. Скрытый прямоугольный треугольник

В окружность вписан треугольник со сторонами $10$, $24$ и $26$. Найдите радиус этой окружности.

Пример 3. Комбинация площади и радиуса

В окружность с центром в точке $O$ вписан треугольник $ABC$. Длина высоты $CH$, проведённой к стороне $AB$, равна $12$, а стороны $AC$ и $BC$ равны $15$ и $20$ соответственно. Найдите радиус окружности.

Частые ошибки

Что запомнить

• Радиус и угол: Если есть угол и сторона напротив - это сигнал к использованию $\dfrac{a}{\sin \alpha} = 2R$.
• Прямой угол: Если треугольник прямоугольный, $R$ - это просто половина гипотенузы.
• Две площади: Формула $R = \dfrac{abc}{4S}$ идеально комбинируется с классической формулой $S = \dfrac{1}{2}ah$. Неизвестная сторона сокращается, оставляя линейное уравнение относительно $R$.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Где лежит центр окружности, описанной около треугольника?
   • В точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам
   • В точке пересечения биссектрис углов
   • В точке пересечения медиан
   • В точке пересечения высот
2. В треугольнике сторона $a = 8$, а противолежащий ей угол равен $30^\circ$. Чему равен радиус описанной окружности?
   • $8$
   • $4$
   • $16$
   • $2$
3. Треугольник со сторонами $6$, $8$ и $10$ вписан в окружность. Чему равен её радиус?
   • $5$
   • $10$
   • $4$
   • $3$
4. При каком условии около четырёхугольника можно описать окружность?
   • Суммы противоположных углов равны $180^\circ$
   • Суммы противоположных сторон равны
   • Все стороны равны
   • Диагонали перпендикулярны

Проверить