Векторы и операции с ними

Векторы и операции с ними

Задание 2 профильного ЕГЭ по математике полностью посвящено векторам. Это одно из самых алгоритмичных заданий первой части. В нём проверяется умение работать с векторами как геометрически (по картинке на клетчатой бумаге), так и алгебраически (через координаты).

• Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
• Уровень сложности: Базовый.
• Максимальный балл: 1 первичный балл.

Задачи этого номера делятся на два основных типа: в первых координаты векторов уже даны в условии, во вторых векторы нарисованы на координатной сетке, и их координаты предстоит найти самостоятельно.

Основные формулы

Вектор - это направленный отрезок. В координатной плоскости он задаётся парой чисел: $\vec{a}(x;\, y)$. Эти числа показывают, на сколько клеток вектор смещается по оси X и по оси Y от своего начала к концу.

Самая важная операция в задании 2 - это скалярное произведение. Слово «скалярное» означает, что результатом умножения двух векторов будет обычное число (скаляр), а не новый вектор.

Из геометрической формулы вытекает важнейшее свойство: векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю (так как $\cos 90^\circ = 0$).

Как считывать координаты по рисунку

Если в задаче дан рисунок на клетчатой бумаге, первым делом нужно перевести геометрическую картинку в числа.

Чтобы найти координаты вектора по клеткам, построй мысленный прямоугольный треугольник, где вектор - это гипотенуза.

1. Посчитай, сколько клеток от начала до конца вектора по горизонтали (это координата $x$). Если движение идёт вправо, пиши с плюсом, если влево - с минусом.
2. Посчитай, сколько клеток от начала до конца по вертикали (это координата $y$). Вверх - плюс, вниз - минус.

Для векторов на картинке выше:

• Вектор $\vec{a}$ идёт на 3 клетки вправо и на 4 вверх. Его координаты: $\vec{a}(3;\, 4)$.
• Вектор $\vec{b}$ идёт на 4 клетки вправо и на 2 вниз. Его координаты: $\vec{b}(4;\, -2)$.

Общий алгоритм решения

Примеры решения задач

Пример 1. Длина линейной комбинации

Условие: Даны векторы $\vec{a}(2;\, 0)$ и $\vec{b}(1;\, 4)$. Найдите длину вектора $\vec{a} + 3\vec{b}$.

Решение:

1. Сначала найдём координаты вектора $3\vec{b}$. Для этого умножим обе координаты вектора $\vec{b}$ на 3:

$3\vec{b} = (1 \cdot 3;\, 4 \cdot 3) = (3;\, 12)$

2. Теперь сложим векторы $\vec{a}$ и $3\vec{b}$. Назовём новый вектор $\vec{c}$:

$\vec{c} = \vec{a} + 3\vec{b} = (2 + 3;\, 0 + 12) = (5;\, 12)$

3. Найдём длину вектора $\vec{c}$ по формуле $|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}$:

$|\vec{c}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

Ответ: 13

Пример 2. Скалярное произведение новых векторов

Условие: Даны векторы $\vec{a}(2;\, 1)$ и $\vec{b}(2;\, -4)$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a} + \vec{b}$ и $7\vec{a} - \vec{b}$.

Пример 3. Работа с геометрической формулой

Условие: Длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны $3$ и $7$, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Пример 4. Считывание координат по рисунку

Условие: На рисунке изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Найдите длину вектора $\vec{a} - \vec{b}$.

Частые ошибки

Что запомнить

• Координаты вектора - это проекции его перемещения на оси. Вправо и вверх - с плюсом, влево и вниз - с минусом.
• Длина вектора всегда положительна. Это гипотенуза в прямоугольном треугольнике.
• Скалярное произведение может быть положительным (угол острый), отрицательным (угол тупой) или нулём (угол прямой, векторы перпендикулярны).
• В любой непонятной ситуации - сначала считай координаты векторов, а потом подставляй их в формулы.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Даны точки $A(1;\, 2)$ и $B(4;\, 6)$. Каковы координаты вектора $\vec{AB}$?
   • $(3;\, 4)$
   • $(-3;\, -4)$
   • $(5;\, 8)$
2. Чему равна длина вектора $\vec{a}(6;\, 8)$?
   • $10$
   • $14$
   • $100$
3. Чему равно скалярное произведение векторов $\vec{a}(2;\, 3)$ и $\vec{b}(5;\, -1)$?
   • $7$
   • $13$
   • $\sqrt{7}$
4. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю. Что это значит?
   • Векторы перпендикулярны
   • Векторы параллельны
   • Векторы имеют равные длины

Проверить